Угол вектора: Угол между векторами, формулы и онлайн калькуляторы

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

Найдем модули векторов:

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

Найдем модули векторов:

Найдем угол между векторами:

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

Найдем модули векторов:

Найдем угол между векторами:

Найдем модули векторов:

Найдем угол между векторами:

примеры и решения, как найти косинус угла между векторами, вычислите угол между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления.=a→, b→a→·b→

Скалярное произведение векторов. Формулы и определение

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=<∠(→a; →b)=<180° либо 0°=<∠(→a; →b)=<π.

Значок угла ∠ можно опустить и писать просто: (→a;→b).

Пусть даны два вектора →a, →b.

Отложим их от некоторой точки О пространства: →OA = →a; →OB = →b. Тогда угол между векторами — это угол ∠AOB = (→a, →b).

Угол между векторами может быть прямым, тупым или острым. Рассмотрим каждый случай:

1. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°.

Так как косинус угла в 0° равен единице, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин. Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Так как косинус угла в 180° равен -1, то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение векторов, которые образуют тупой угол, является тоже отрицательным.

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

1. Геометрическая интерпретация.

   Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

   →a * →b = →|a| * →|b| * cosα

   
   


2. Алгебраическая интерпретация.

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
• Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα < 0.
• Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0 так как , то есть cosα = 0.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.

То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by

А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz

Докажем это определение:

1. Сначала докажем равенства
   

   для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

   Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)

   Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)



2. Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:
   

   Так как:

   
   

   то последнее равенство можно переписать так:

   
   

   а по первому определению скалярного произведения имеем

   
   

   откуда

   
   


3. Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
   


4. Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств (→a, →b) = |→a|*|→b|*cos(→a, →b) = ax*bx + ay*by + ax*bz для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz), заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.


5. Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости (→a, →a) = ax2 + ay2 в пространстве (→a, →a) = ax2 + ay2 + az2.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В плоской задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

Формула скалярного произведения n-мерных векторов

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = {a1; a2; … ; an} и b = {b1; b2; … ; bn} можно найти по формуле:

a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + … + an * bn

Свойства скалярного произведения

Свойства скалярного произведения векторов:

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

   →а * →а > 0

   →0 * →0 = 0



2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

   →a * →a = →∣∣a∣∣2



3. Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:

   →a * →b = →b * →a



4. Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:

   (→a + →b) * →c = →a * →c + →b * →c



5. Сочетательный закон для скалярного произведения:

   (k * →a) * →b = k * (→a * →b)



6. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:

   a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 <=> a ┴ b

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)

По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.

Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,

и,

откуда следует:

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Как решаем:

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.

Как решаем:

Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.

В данном случае:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3

Ответ: →a * →b = 5√3.

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Как решаем:

По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Ответ: (→a,→b) = 411.

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Как решаем:

1. Введем систему координат.
   

   Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

   
   


2. Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).


3. Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:
   


4. Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:
   


5. Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:
   


6. Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:
   

Ответ: 1/4.

Пример 5.

а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

Как решаем:

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)

Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

• В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
• В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

Как решаем:

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).

Найдем векторы:

Вычислим скалярное произведение:

Вычислим длины векторов:

Найдем косинус угла:

Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Угол между векторами и скалярное произведение векторов

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Векторы».

Содержание данной страницы электронного справочника для школьников:

• – тема «Свойства векторов» рассматривается на примере решения задачи 86;
• – онлайн задания, как находить угол между векторами, в том числе в координатной форме, как определяется скалярное произведение векторов, скалярный квадрат, представлены в контрольных работах 87 — 107 учебника.

Свойства векторов

2)

3)

5) Дано: система координат

модуль вектора

Найдите: OA

Решение:

OA=

OA =

Ответ: OA = 13

***

Пусть

1) Отложим от точки O векторы

2) Если

3) Если

Угол между двумя векторами

Определение:

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

***

Задача 86.

ABCD — квадрат

AC ∩ BD = O

Найти: углы между векторами

Вычисление:

a) Т.к. AC — диагональ квадрата, то она делит угол

б) Т.к. ABCD — квадрат, то градусная мера угла между векторами

***

Наверх

Скалярное произведение векторов

Задача 87.

ABCD — ромб

BD = AB; AC ∩ BD = 0

Вычислите: угол, образованный векторами

Решение:

а) По определению ромба ΔABD — равносторонний (AB = AD = BD).

Значит, все углы в треугольнике равны 60°. Тогда угол между векторами

б) Т.к. векторы

в) Т.к. векторы

***

Определение:

Скалярным произведением двух векторов (формула 1) называется произведение длин этих векторов на косинус угла (Cos) между ними.

Обозначение:

Из формулы скалярного произведения векторов через косинус угла (1) следует:

1) скалярное произведение векторов больше нуля, если угол между векторами меньше 90°, т.е.

скалярное произведение векторов меньше нуля, если угол между векторами больше 90°, т.е.

2) Если

3) Если

Верно и обратное, т.е. если

Вывод: = 0

***

Задача 88.

Дано:

Векторы

Угол α = 90°

Найти: скалярное произведение векторов

Решение:

Используя формулу скалярного произведения векторов через косинус угла, получаем

Ответ:

***

Скалярный квадрат

***

Задача 89.

Дано:

ΔABC — равносторонний

Найти: скалярное произведение векторов 1)

Решение: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

1)

2)

***

Задача 90.

Дано:

Векторы

1) угол α = 45°

2) α = 135°

Найти: скалярное произведение векторов

Решение:

1)

2)

Ответ: 1) 3

***

Задача 91.

Дано:

AB = a

BD — высота

Найти: скалярное произведение векторов

1)

2)

Решение:

1)

2)

3)

Ответ:1) —

Задача 92.

Дано:

BD ∩ AC = 0

BD = AB

1)

2)

Найти: величину угла между векторами

1)

Решение:

1) Рассмотрим ΔABC — равнобедренный, т.к. AB=BD.

Зная, что в ромбе все стороны равны, получаем ΔABD — равносторонний.

Тогда

По свойству ромба следует, что

Тогда угол между векторами

2) Т.к. стороны параллельны и векторы сонаправлены:

BA || CD и

Рассмотрим треугольник ΔCBD — равнобедренный, т.к. две стороны равны: BD=BC.

По определению ромба ΔCBD — равносторонний.

Значит, угол

По свойству ромба угол

Тогда угол между векторами

Ответ: 1)

***

Наверх

Скалярное произведение векторов в координатах

Теорема:

Если два вектора имеют координаты

Доказательство:

1 случай.

2 случай.

Если векторы

Отложим векторы от произвольной точки O.

Рассмотрим треугольник ΔOBA.

Известно, что формула косинуса

c² = a² + b² — 2ab • Cos α, получаем равенство

AB­­² = OB² + OA² — 2 • OB • OA • Cos α (3)

Учитывая значения (*)

|

Используя формулу для вычисления длины вектора по его координатам, получаем

Т.к.

|

Тогда из равенства (4) следует

(x₂ — x₁)² + (y₂ – y₁)² = x₂² + y₂² + x₁² + y₁² — 2

x₂² -2 x₂ x₁ + x₁² + y₂² – 2 y₂y₁ + y₁² = x₂² + y₂² + x₁² + y₁² — 2

-2 x₂ x₁– 2 y₂y₁ = — 2

***

Следствия:

1) Если векторы перпендикулярны, т.е.

2) По определению скалярного произведения двух векторов (формула 1)

Cos α =

Формула для нахождения косинуса угла через координаты векторов:

Для вычисления синуса и тангенса угла между векторами через косинус угла используются формулы приведения и тригонометрические функции.

***

Наверх

Скалярное векторное произведение

Задача 93.

Если

***

Задача 94.

Если

***

Задача 95.

Дано:

Координаты точек

A(2;8), B(-1;5), C(3;1)

Решение:

Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала

Используя формулу для нахождения углов через координаты векторов

Cos A =

Cos A =

Ответ: Cos A =

***

Длина вектора

Задача 96.

Дано:

угол между векторами равен

длины векторов |

Найти: произведение векторов (

Решение:

(

Ответ: (

***

Задача 97.

Дано:

длина векторов |

Найти: произведение векторов

Решение:

= 3

Ответ:

***

Задача 98.

Дано:

Найти: произведение векторов

Решение:

Ответ:

***

Задача 99.

Дано:

Найти: произведение векторов

Решение:

0 = 0 + (-3x)

3x = 0

x = 0

Ответ: при x=0,

***

Задача 100.

Дано:

Координаты точек

A(2;8), B(-1;5), C(3;1)

Найти: косинус угла векторов

2) Cos C = ?

Решение:

1)

Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала

Используя формулу для нахождения углов через заданные координаты векторов

Cos B =

Cos B =

2)

Cos C =

Ответ: Cos B =0, Cos C =

***

Задача 101.

Дано:

Найти: длину вектора |

Решение:

Найдем координаты вектора

Т.к. длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат |

|

Ответ: |

***

Задача 102.

Дано:

ABCD — ромб

AB =

AC

Доказательство:

Т.к. ABCD — ромб — параллелограмм, то векторы параллелограмма

***

Задача 103.

Дано:

треугольник ΔABC — равнобедренный

AM — медиана

Доказать:

1) 4AM² = AB² + AC² + 2AB • AC • Cos A

Доказательство:

1) Т.к. точка M — середина BC, тогда

2

Значит, (2

= AB² + 2AB + 2AB • AC • Cos A + AC² = AB² + AC² + 2AB • AC • Cos A

Получаем 4AM² = AB² + AC² + 2AB • AC • Cos A

2) По формуле, полученной выше, следует

4CH² = AC² + BC² + 2AC • BC • Cos C

Т.к. треугольник ΔABC — равнобедренный, тогда AB = BC,

Получим, что 4CH² = AC² + BC²(=AB²) + 2AC • BC(=AB) • Cos C (= Cos A)

4CH² = AC² + AB² + 2AC • AB • Cos A

4CH² = 4AM²

2CH = 2AM | : 2

CH = AM

***

Дано:

ABCD — выпуклый четырехугольник

BD = d₁ и AC = d₂ — диагонали

d₁ ∩ d₂ = O — точка пересечения диагоналей

Доказать:

Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус острого угла между ними

S_ABCD=

Доказательство:

Площадь четырехугольника — сумма площадей четырех треугольников.

S_ABCD= S₁ + S₂ + S₃ + S₄ , где

S₁ = S_ΔAOB ; S₂ = S_ΔCOB ; S₃ = S_ΔCOD ; S₄ = S_ΔAOD

S₁ =

S₂ =

S₃ =

S₄ =

Сложив S₁ + S₂ + S₃ + S₄, получаем

S_ABCD=

+

Т.к. OA+OC = AC, CO+OA = AC, BO + OD = BD тогда

S_ABCD=

Формула площади выпуклого четырехугольника:

S_ABCD=

***

Задача 105.

Дано:

два вектора образуют угол α = 150°,

длины векторов |

Решение:

BC² = AB² + AC² — 2 AB • AC • Cos 150°

BC² = 48 + 4 — 2 • 4

BC =

Ответ: BC = |2

***

Задача 106.

Дано:

Угол

a=24,6

Найти: Угол в градусах

Решение:

Используя теорему синусов

≈ 25,5

Ответ:

***

Задача 107.

Дано:

длины векторов |

Найти: значение векторов

1) |

2) |

Решение: По теореме косинусов

1)

AC² = AB² + BC² — 2AB • BC • Cos 120°

AC² = 25 + 64 — 80 • (- 0,5) = 129

2) BC² = AB² + AC² — 2AB • AC • Cos 60°

BC² = 89 — 80 • 0,5 = 49

BC = ±

Ответ: |

***

Угол между двумя векторами

Пусть в n-мерном пространстве задан ортонормированный базис

Как известно скалярное произведение ненулевых векторов x и y называется произведение

где |·|-модуль вектора, φ -угол между векторами.

Если x=0 или y=0, то скалярное произведение равно нулю.

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Так как рассматривается пространство с ортонормированным базисом, то скалярное произведение можно вычислить также из выражения

где

координаты векторов x и y соответственно.

Из выражений (1) и (2) следует, что косинус угла между двумя векторами равен

И, следовательно, угол между двумя векторами будет равен

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть заданы векторы x=AB и y=CD, где ,,,.

Переместим параллельно векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками):

где

При таком перемещении угол между векторами x и y равен углу между векторами x’ и y’. Следовательно косинус угла между двумя векторами равен:

Угол между двумя векторами будет равен:

Примеры вычисления угла между двумя векторами

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пример . Найти угол между векторами x=(7,2) и y=(4,5).

Рис. 1

На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлены векторы x=(7,2) и y=(4,5).

Для вычисления угла между векторами x и y, вычислим нормы векторов x и y:

Косинус угла между векторами x и y, будет равен:

Из выражения (5) вычисляем угол φ:

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пример . Найти угол между векторами x=AB и y=CD, где A(-1,1), B(3, 7), C(3,2), D(12,5).

На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлены векторы x=AB и y=CD.

Рис. 2

Переместим параллельно векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками): x’=(3-(-1),7-1)=(4,6), y’=(12-3,5-2)=(9,3).

Угол φ между векторами x и y равен углу φ’ между векторами x’ и y’. Поэтому вычисляя угол φ’ , получим угол между векторами x и y.

Вычислим норму векторов x’ и y’:

Косинус угла между векторами x’ и y’:

Угол между двумя векторами будет равен:

§2. Проекция вектора на заданное направление — ЗФТШ, МФТИ

1. Проекция вектора на заданное направление. 

Пусть заданы два вектора `vec a` и `vec b`. Приведём эти векторы к одному началу `O` (рис. 10). Угол, образованный лучами, исходящими из точки `O` и  направленными вдоль векторов `vec a` и `vec b`, называют углом между векторами `vec a` и `vec b`. Обозначим этот угол через `alpha`.@`,  то косинус такого угла отрицателен (см. рис. 11).

Проекция равна нулю, если направления векторов `vec a` и `vec b` взаимно перпендикулярны (см. рис. 12).

Проекции равных векторов на любые направления равны друг другу. Проекции противоположных векторов отличаются знаком.

Легко показать, что проекция суммы векторов равна алгебраической сумме их проекций и что при умножении вектора на число его проекция умножается на то же число.

2. Разложение вектора.

До сих пор мы говорили о сложении векторов. Для решения многих задач бывает необходимо произвести обратную процедуру — разложить вектор на составляющие, например, найти несколько сил, которые своим совместным действием могли бы заменить одну данную силу. Такая операция называется разложением сил.

Пусть на плоскости задан вектор `vec a` и две пересекающиеся в точке `O`  прямые `AO` и `OB` (см. рис. 13).

Вектор `vec a` можно представить в виде суммы двух векторов, направленных вдоль заданных прямых.@) ~~ 0,37`.

3. Проектирование вектора на оси координат. 

Особенно важен частный случай разложения вектора по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат `xOy` и некоторый вектор `vec a`. Отложим из начала координат вдоль положительного направления осей `Ox` и `Oy` векторы `vec i` и `vec j` соответственно такие, что `|vec i| = 1` и `|vec j| = 1`. Векторы `vec i` и `vec j`  назовём единичными векторами.

Перенесём  вектор `vec a` так,  чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть  в  этом положении он изображается направленным отрезком `AO` (рис. 14).

Опустим из точки `A` перпендикуляры на оси `Ox` и `Oy`. Тогда  векторы `vec(a_x)` и `vec(a_y)` будут  составляющими  вектора `vec a` по координатным осям, причём вектор `vec(a_x)` будет коллинеарен вектору `vec i`, а вектор `vec(a_y)` — коллинеарен вектору `vecj`. Следовательно, существуют такие  числа `a_x` и `a_y`, что `vec(a_x) = a_x vec i` и `vec(a_y) = a_y vec j`. Таким образом, вектор `vec a` может быть представлен в виде разложения по осям:

`vec a = vec(a_x) + vec(a_y) = a_x vec i + a_y vec j`.                                                         (3)

Числа `a_x` и `a_y` суть проекции вектора `vec a` на направления векторов `vec i` и `vec j` соответственно, то есть на оси `Ox` и `Oy`. Используется и иная, чем (3), форма записи векторов, а именно `vec a = (a_x ; a_y)`.

Иногда говорят о составляющей вектора вдоль одной единственной оси — без указания второй. Просто молчаливо предполагается, что вторая ось перпендикулярна первой (но почему-то не нарисована).

Пусть угол между положительным направлением оси `Ox` и вектором `vec a` равен `alpha` (рис.14). Тогда `a_x = a cos alpha`, `a_y = a sin alpha`.

В зависимости от значения угла `alpha` проекции вектора `vec a` на оси прямоугольной системы координат могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.2)`                                                                                 (4)

и 

причём знаки `a_x` и `a_y` будут указывать на то, какому квадранту при­надлежит значение `alpha`.

4. Пусть теперь нам задано векторное равенство `vec a + vec b = vec c` (рис. 15).

Проектируя все векторы на оси координат, получим очевидные равенства 

`c_x = a_x + b_x`,  `c_y = a_y + b_y`,

или

`c_x = a cos alpha + b cos beta`,

`c_y = a sin alpha + b sin beta`,

т. е. по проекциям  векторов `vec a` и `vec b` легко находятся проекции суммарного вектора `vec c`.

. 2D и 3D векторы

В этом абзаце вы найдете формулы для угла между двумя векторами — а только формулы. Если вы хотите понять, как мы их выводим, переходите непосредственно к следующему абзацу, Как найти угол между двумя векторами

Угол между двумя 2D-векторами

1. Векторы, представленные координатами (стандартное обозначение упорядоченного набора, форма компонента):

векторов a = [x _a , y _a ], b = [x _b , y _b ]

угол = arccos [(x a * x b + y a * y b ) / (√ (x a 2 + y a 2 ) * √ (x b 2 + y b 2 ))]

2. Векторы между начальной и конечной точкой:

Для вектора a : A = [x ₁ , y ₁ ], B = [x ₂ , y ₂ ],

так вектор a = [x ₂ — x ₁ , y ₂ — y ₁ ]

Для вектора b : C = [x ₃ , y ₃ ], D = [x ₄ , y ₄ ],

так вектор b = [x ₄ — x ₃ , y ₄ — y ₃ ]

Затем вставьте полученные координаты вектора в формулу угла между двумя векторами для координаты из точки 1:

угол = arccos [((x 2 - x 1 ) * (x 4 - x 3 ) + (y 2 - y 1 ) * (y 4 - y 3 )) / (√ ((x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 ) * √ ((x 4 - x 3 ) 2 + (y 4 - y 3 ) 2 ))]

Угол между двумя трехмерными векторами

1. Векторов в координатах:

a = [x _a , y _a , z _a ], b = [x _b , y _b , z _b ]

угол = arccos [(x a * x b + y a * y b + z a * z b ) / (√ (x a 2 + y a 2 + z a 2 ) * √ (x b 2 + y b 2 + z b 2 ))]

2. Векторы между начальной и конечной точкой:

Для вектора a : A = [x ₁ , y ₁ , z ₁ ], B = [x ₂ , y ₂ , z ₂ ],

, поэтому a = [x ₂ — x ₁ , y ₂ — y ₁ , z ₂ — z ₁ ]

Для вектора b : C = [x ₃ , y ₃ , z ₃ ], D = [x ₄ , y ₄ , z ₄ ]

, поэтому b = [x ₄ — x ₃ , y ₄ — y ₃ , z ₄ — z ₃ ]

Найдите окончательную формулу аналогично 2D-версии:

угол = arccos {[(x 2 - x 1 ) * (x 4 - x 3 ) + (y 2 - y 1 ) * (y 4 - y 3 ) + (z 2 - z 1 ) * (z 4 - z 3 )] / [√ ((x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2 ) * √ ((x 4 - x 3 ) 2 + (y 4 - y 3 ) 2 + (z 4 - z 3 ) 2 )]}

Кроме того, один угол может определяться координатами, а другой — начальной и конечной точкой, но мы не позволим этому затемнять этот раздел еще больше.Важно только то, что в нашем калькуляторе угла между двумя векторами есть все возможные комбинации, доступные вам.

Угол между двумя векторами — объяснение и примеры

Векторы, в частности направление векторов и углы, на которые они ориентированы, имеют большое значение в векторной геометрии и физике. Если есть два вектора, скажем a и b в плоскости, так что хвосты обоих векторов соединены, тогда существует некоторый угол между ними, и этот угол между двумя векторами определяется как:

« Угол между двумя векторами — это кратчайший угол, на который любой из двух векторов поворачивается относительно другого вектора, так что оба вектора имеют одинаковое направление.”

Кроме того, это обсуждение фокусируется на поиске угла между двумя стандартными векторами, что означает, что их начало находится в точке (0, 0) в плоскости x-y.

В этой теме мы кратко обсудим следующие моменты:

• Каков угол между двумя векторами?
• Как узнать угол между двумя векторами?
• Угол между двумя двумерными векторами.
• Угол между двумя трехмерными векторами.
• Примеры.
• Проблемы.

Векторы ориентированы в разных направлениях, образуя разные углы. Этот угол существует между двумя векторами и отвечает за определение возведения векторов.

Угол между двумя векторами можно найти с помощью векторного умножения. Существует два типа умножения векторов: скалярное произведение и векторное произведение .

Скалярное произведение — это произведение или произведение двух векторов, которое дает скалярную величину.Как следует из названия, векторное произведение или кросс-произведение дает векторную величину за счет произведения или умножения двух векторов.

Например, если мы говорим о движении теннисного мяча, его положение описывается вектором положения, а движение — вектором скорости, длина которого указывает скорость мяча. Направление вектора объясняет направление движения. Точно так же импульс шара также является примером векторной величины, которая равна массе, умноженной на скорость.

Иногда нам приходится иметь дело с двумя векторами, действующими на какой-то объект, поэтому угол вектора имеет решающее значение.В реальном мире любая рабочая система объединяет несколько векторов, связанных друг с другом, и образует несколько углов друг с другом в заданной плоскости. Векторы могут быть двухмерными или трехмерными. Следовательно, необходимо вычислить угол между векторами.

Давайте сначала обсудим скалярные произведения.

Рассмотрим два вектора a и b , разделенных некоторым углом θ. Тогда по формуле скалярного произведения будет:

a.b = | a | | b | .cosθ

, где a.b — скалярное произведение двух векторов. | а | и | b | — величина векторов a, и b, и θ — угол между ними.

Чтобы найти угол между двумя векторами, мы начнем с формулы скалярного произведения, которая дает косинус угла θ.

Согласно формуле скалярного произведения

a.b = | a | | b | .cosθ

Это означает, что скалярное произведение двух векторов a и b равно величине двух векторов a и b, умноженной на косинус угла.Чтобы найти угол между двумя векторами, a и b, мы решим угол θ,

cosθ = a.b / | a |. | б |

θ = arccos ( a.b / | a |. | B |)

Итак, θ — это угол между двумя векторами.

Если вектор a = и b = ,

Тогда скалярное произведение между двумя векторами a и b задается как,

ab = <топор, ау>.

a.b = ax.bx + ay.by

Здесь мы можем получить пример выполненной работы, поскольку выполненная работа определяется как сила, приложенная для перемещения объекта на некоторое расстояние. И сила, и смещение являются векторами, и их скалярное произведение дает скалярную величину, то есть ., работу. Проделанная работа — это скалярное произведение силы и смещения, которое можно определить как

F. d = | F | | d | cos (θ)

Где θ — угол между силой и смещением. Например, если мы рассматриваем автомобиль, движущийся по дороге, преодолевая некоторое расстояние в определенном направлении, на автомобиль действует сила, тогда как сила составляет некоторый угол θ со смещением.

Ниже приведены некоторые свойства скалярного произведения:

• Скалярное произведение является коммутативным по своей природе.
• Распределительный по своей природе сложение векторов:

a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

• Это неассоциативный характер.
• 4. Скалярная величина может быть умножена на скалярное произведение двух векторов.

г. (а. б) = (в а). б = а. (c b)

• Скалярное произведение является максимальным, когда два ненулевых вектора параллельны друг другу.
• 6. Два вектора перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда a. b = 0, поскольку скалярное произведение — это косинус угла между двумя векторами a и b, а cos (90) = 0. 2 + 2 | A || B | .2 = (1 + cos (θ))

  1/2 = 1 + cos (θ)

  1/2 — 1 = cos (θ)

  -1 / 2 = cos (θ)

  θ = cos -1 (-1 / 2)

  θ = 120º

  Итак, угол между двумя векторами, имеющими одинаковую величину, равен 120º.

  Пример 2

  Найдите угол между двумя векторами равной величины. Также вычислите величину результирующего вектора.

  Решение

  Принято, что,

  | A | = | B |

  Использование закона косинуса для вычисления величины результирующего вектора R .2 (θ / 2))

  | R | = 2 A cos (θ / 2)

  Теперь для вычисления результирующего угла α, который он составит с первым вектором,

  tan α = (A sin θ) / (A + A cos θ)

  tan α = (2 A cos (θ / 2). Sin (θ / 2) / (2 A cos2 (θ / 2))

  tan α = tan (θ / 2)

  α = θ / 2

  Следовательно, это показывает, что результат будет делить пополам угол между двумя векторами, имеющими равную величину.

  Пример 3

  Найдите угол между заданными двумя векторами. 2)

  | B | = √ (1 + 4 + 25)

  | B | = √ (30)

  Теперь, найдя скалярное произведение,

  A.B = <4, 3, 2>. <1, 2, 5>

  A.B = 4 + 6 + 10

  A.B = 20

  Подставляя в формулу скалярного произведения,

  20 = (√ (29)). (√ (30)). cos (θ)

  20 / (√ (29 x 30)) = cos (θ)

  cos (θ) = 0,677

  θ = cos-1 (0,677)

  θ = 42,60º

  Угол между Два вектора с использованием перекрестного произведения

  Другой метод определения угла между двумя векторами — это перекрестное произведение.Перекрестное произведение определяется как:

  «Вектор, перпендикулярный как векторам, так и направлению, задается правилом правой руки.

  Итак, векторное произведение математически представляется как,

  a x b = | a | | б | . sin (θ) n

  Где θ — угол между двумя векторами, | a | и | b | — величины двух векторов a, и b, и n. — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащий два вектора a и b в направлении, заданном правилом правой руки.

  Рассмотрим два вектора a и b , хвосты которых соединены вместе и, следовательно, образуют некоторый угол θ. Чтобы найти угол между двумя векторами, мы будем манипулировать вышеупомянутой формулой перекрестного произведения.

  ( axb ) / (| a |. | B |) = sin (θ)

  Если данные векторы a и b параллельны друг другу, то согласно приведенной выше формуле крест продукт будет равен нулю, так как sin (0) = 0.Имея дело с перекрестным произведением, мы должны быть осторожны с направлениями.

  Ниже приведены некоторые свойства перекрестного произведения:

  • Перекрестное произведение является антикоммутативным по своей природе.
  • Самостоятельное произведение векторов равно нулю.

  A x A = 0

  • Перекрестное произведение распределительно по сравнению с векторным сложением

  a x ( b + c) = ( a x b ) + ( a x c )

  • Неассоциативная природа.
  • Скалярная величина может быть умножена на скалярное произведение двух векторов.

  г. ( a x b ) = (c a ) x b = a x (c b )

  • Точечное произведение является максимальным, когда два ненулевых вектора перпендикулярны друг другу.
  • Два вектора параллельны (т.е. если угол между двумя векторами равен 0 или 180) друг другу тогда и только тогда, когда axb = 1, поскольку перекрестное произведение — это синус угла между двумя векторами a и b и синус (0) = 0 или синус (180) = 0.
  • Для единичных векторов

  ixi = 0

  jxj = 0

  kxk = 0

  ixj = k

  jxk = i 9000 k7 9000 k7 9000 k7 = j

  • Перекрестное умножение не соответствует закону отмены

  axb = axc

  ax ( b — c ) = 0

  Вот некоторые из свойств перекрестного произведения .2) = 1/5

  Теперь, подставив в формулу,

  | а х б | = | а | | б | sin θ

  1/5 = (1) (1) sin θ

  θ = sin-1 (1/5)

  θ = 30º

  Пример 6

  Рассчитайте угол между двумя векторами так, чтобы a = 3 i — 2 j — 5 k и b = i + 4 j — 4 k где a x b = 28 i + 7 к + 14 к .2)

  | б | = √ (1 + 16 + 16)

  | b | = √ (33)

  Принимая во внимание, что величина a x b задается как,

  | а х б | = √ ((28) 2 + (7) 2 + (14))

  | а х б | = √ (1029)

  | а х б | = 32.08

  Теперь, подставив в формулу,

  | а х б | = | а | | б | sin θ

  32,08 = (√ (38)) (√ (33)) sin θ

  sin θ = 32,08 / (√ (38)) (√ (33))

  θ = 64,94º

  Итак, Угол между двумя векторами a и b равен θ = 64.94º.

  Векторы могут быть как двухмерными, так и трехмерными. Метод определения угла в обоих случаях одинаков. Единственное отличие состоит в том, что двумерный вектор имеет две координаты x и y, тогда как трехмерный вектор имеет три координаты x, y и z. В приведенных выше примерах используются как двухмерные, так и трехмерные векторы.

  Практические задачи
  1. Учитывая, что | A | = 3 и | B | = 5, где как a. b = 7,5, узнаем угол между двумя векторами.
  2. Вычислите угол между двумя векторами 3i + 4j — k и 2i — j + k.
  3. Вычислите угол между двумя векторами так, чтобы a = 2 i — 3 j + 1 k и b = -1 i + 0 j + 5 k где a x b = -15 i — 11 j — 3 k .
  4. Вычислите угол между двумя векторами так, чтобы a = 2 i + 3 j + 5 k и b = i + 6 j — 4 k , где а . b = 0.
  5. Найдите угол между заданными векторами t = (3, 4) и r = (−1, 6).
  6. Каким будет результирующий вектор R двух векторов A, и B , имеющих одинаковую величину, если угол между ними равен 90o.
  Ответы
  1. 60 °
  2. 85,40 °
  3. 81,36 °
  4. 90 °
  5. 36,30 °
  6. 90 °

  Все векторные диаграммы построены с помощью GeoGebra.

  Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

  Угол между двумя векторами — обзор

  4.2 Точечное произведение

  Теперь мы вводим правило для умножения двух векторов такого типа, который дает в результате обычное число (а не другой вектор). Он называется скалярным произведением . Мы хотим, чтобы скалярное произведение двух векторов A и B не зависело от ориентации векторов относительно системы координат и зависело только от величин A и B и угла θ. между их направлениями.Используя центральную точку в качестве символа этой операции, ее определение принимает вид

  (4.14) A · B = ABcosθ.

  Угол θ обозначен на рис. 4.7.

  Рисунок 4.7. Угол между векторами A и B .

  Обратите внимание, что уравнение. (4.14) делает скалярное произведение коммутативной операцией,

  (4.15) A · B = B · A,

  и что скалярное произведение равно нулю, когда A и B расположены под прямым углом друг к другу, как cosθ тогда равен нулю.Перпендикулярные векторы называются ортогональными ; если они также имеют единичную длину, они называются ортонормированными (вектор единичной длины иногда называют нормализованными ).

  Можно показать, что скалярное произведение линейно в A и B , что означает, что в формуле скалярного произведения мы можем заменить A и B на

  A = Axeˆx + Ayeˆy + Azeˆz , B = Bxeˆx + Byeˆy + Bzeˆz,

  и разверните результат.Получаем

  (4,16) A · B = AxBxeˆx · eˆx + AyByeˆy · eˆy + AzBzeˆz · eˆz + (AxBy + AyBx) eˆx · eyˆ + (AxBz + AzBx) eˆx · ezˆ + (AyBz + AzBy) eˆy · ezˆ.

  Уравнение (4.16) можно упростить, используя свойства единичных векторов в координатных направлениях. Поскольку эти направления взаимно перпендикулярны, и все единичные векторы (по определению) имеют единичную длину, применение уравнения. (4.14) дает

  (4.17) eˆx · eˆx = eˆy · eˆy = eˆz · eˆz = 1andeˆx · eˆy = eˆx · eˆz = eˆy · eˆz = 0.

  Эти отношения представляют собой утверждения о том, что декартовы единичные векторы являются ортонормированными .Используя уравнение. (4.17), уравнение (4.16) сокращается до

  (4.18) A · B = AxBx + AyBy + AzBz.

  Чтобы составить уравнение типа Ур. (4.18) применимы к векторам в пространствах, отличных от трех измерений, мы запишем эту формулу в более общем виде. Используя 1,2,… для идентификации базисных единичных векторов, скалярное произведение принимает следующую форму для пространства размерности n:

  (4.19) A · B = ∑i = 1nAiBi.

  Оглядываясь назад на определение, мы видим, что эта формула применима, только если наша система координат ортогональна (т.е.е., оси взаимно перпендикулярны), как в случае использования декартовых координат. Это не является серьезным ограничением, поскольку мы используем только наклонные системы координат под давлением (например, для обсуждений с участием кристалла, оси симметрии которого не расположены под прямым углом друг к другу).

  Наше первое использование скалярного произведения будет заключаться в получении формулы для величины вектора с использованием его компонентов. Пусть A или A∣ обозначают величину вектора A , мы имеем (снова в 2-D), сравните уравнение.(4.6),

  (4.20) A · A = (Ax) 2+ (Ay) 2 = A2 = ∣A∣2.

  Таким образом, у нас есть еще один способ записать квадрат величины вектора A , а именно A · A, часто сокращаемый до A2. Обратите внимание, что A2 — это не вектор, а обычное (неотрицательное) число; это обозначение следует интерпретировать как означающее, что векторы A объединяются путем получения их скалярного произведения.

  Интересно рассмотреть скалярное произведение C · C, где мы положили C = A + B. Расширяясь, мы получаем

  C · C = (A + B) · (A + B),

  , которое расширяется до

  C2 = A2 + B2 + 2A · B.

  Решая для A · B, мы получаем

  (4,21) A · B = C2-A2-B22 = ABcosθ,

  , который мы идентифицируем как закон косинусов, знакомый из тригонометрии. Обратите внимание, что знак минус в законе косинусов, который обычно представлен, относится к (внутреннему) углу треугольника ABC, противоположному стороне длины C. Здесь, как показано на рис. 4.7, мы определили θ как внешний угол, поэтому что θ = 0 соответствует B , находящемуся в том же направлении, что и A. Этот выбор θ объясняет отсутствие знака минус в правой части уравнения.(4.21).

  Поскольку скалярное произведение не зависит от общей ориентации, его часто также называют скалярным произведением . Теперь мы используем термин , скаляр , чтобы обозначать нечто большее, чем «не вектор»; мы определяем его как величину, не зависящую от нашего выбора системы координат. Подчеркивая этот момент, мы отметили, что, хотя вращение векторов или системы координат изменяет значения компонентов вектора, комбинация этих компонентов, которая формирует скалярное произведение, оценивается как независимый от вращения результат.Именно эта инвариантность связана с термином скаляр .

  Поскольку cosθ может принимать все значения в диапазоне (-1, + 1), мы видим, что формула A · B = ABcosθ будет иметь значения в диапазоне от + AB (когда векторы находятся в одном направлении) до -AB (когда они направлены в противоположные стороны), с A · B = 0, когда A и B расположены под прямым углом (ортогонально). В математическом контексте ортогональный относится к величинам с нулевым скалярным произведением, даже если они более абстрактны и для языка нет очевидной физической основы.

  В 2-D два вектора, которые являются ортогональными, имеют компоненты, которые удовлетворяют уравнению

  AxBx + AyBy = 0, которое мы можем преобразовать в AyAxByBx = -1.

  Здесь Ay / Ax — наклон, соответствующий направлению A , а By / Bx — наклон, соответствующий B . Тот факт, что произведение этих наклонов равно -1, является хорошо известным показателем того, что они перпендикулярны.

  Пример 4.2.1 Угол между двумя векторами

  Нам нужен угол между двумя векторами

  A = 4-24 и B = 24-4.

  Чтобы найти его, нам нужны значения A, B и A · B. Получаем

  A = 42 + (- 2) 2 + 42 = 6, B = 22 + 42 + (- 4) 2 = 6, A · B = 4 (2) + (- 2) (4) +4 ( -4) = — 16.

  По этим данным мы вычисляем

  cosθ = A · BAB = -1636 = -49.

  Взяв арккосинус, находим θ = 2,031 радиана, или около 116 °.

  Проекции

  Простейшие примеры так называемых проекций вектора соответствуют удалению одного или нескольких (но не всех) его компонентов. Например, рассмотрим трехмерный вектор, хвост которого находится в точке (x1, y1, z1), а голова — в точке (x2, y2, z2).Если мы подавим (т. Е. Удалим) его компонент z, тогда он будет в 2-D области (плоскость xy) с концами в (x1, y1,0) и (x2, y2,0). Поскольку это результат, который соответствует тени (т. Е. Изображению) вектора на плоскости xy при освещении с направления z, разумно назвать это проекцией нашего вектора на плоскость xy.

  В качестве альтернативы мы можем удалить компоненты y и z из трехмерного вектора. Тогда останется вектор вдоль оси x от x1 до x2.Это также называется проекцией, но теперь на линию (ось x).

  Точечное произведение дает нам формальный способ нахождения проекций произвольных векторов. Если нам нужна проекция вектора A на ось x (результат, очевидно, Axeˆx), и мы пишем A = Axeˆx + Ayeˆy + Azeˆz, ясно, что результат, который мы ищем, может быть получен, если мы можем исключить Члены eˆy и eˆz из выражения для A . Для этого нужно взять скалярное произведение A с eˆx.Это будет работать, потому что базисные единичные векторы ортонормированы, с отношениями, приведенными в формуле. (4.17). Следовательно,

  (4,22) eˆx · A = eˆx · (Axeˆx + Ayeˆy + Azeˆz) = Ax,

  и

  (4,23) Проекция Aonx = (eˆx · A) eˆx.

  Обратите внимание, что проекция представляет собой не просто Ax, а вектор в направлении x длины Ax.

  Формула вышеуказанного типа все еще применима (но менее тривиальна), если нам нужна проекция в направлении, отличном от оси координат.Предположим, мы хотим получить проекцию A на направление другого вектора, B . Затем нам нужен единичный вектор в направлении B , а именно Bˆ = B / B, и сформируем нашу проекцию как

  Projection ofAonB = BB · ABˆ = (B · A) BBˆ.

  Это уравнение также показывает, что величина проекции A на B равна B · A / B, что эквивалентно наблюдению, что A · B равно произведению звездных величин B и проекции из A по B .Поскольку скалярное произведение симметрично в A и B , это наблюдение можно обобщить, чтобы заявить, что скалярное произведение A · B равно произведению величины любого фактора, умноженного на величину проекции на него другой фактор. Когда A · B записывается как ABcosθ, Acosθ — это величина проекции A на B , а Bcosθ — величина проекции B на A .

  Угол между двумя векторами

  Обсуждение углов направления векторов было сосредоточено на поиске угла вектора относительно положительной оси x.Это обсуждение будет сосредоточено на угле между двумя векторами в стандартной позиции . Говорят, что вектор находится в стандартном положении, если его начальная точка — начало координат (0, 0).

  На рисунке 1 показаны два вектора в стандартном положении.

  Угол между двумя векторами в стандартном положении можно вычислить следующим образом:

  УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕКТОРАМИ:

  Если θ — это угол между двумя ненулевыми векторами в стандартном положении u и v :

  
  Где 0≤θ≤2π и ∥v∥ = v12 + v22

  Давайте рассмотрим несколько примеров.

  Для работы этих примеров требуется использование различных векторных правил. Если вы не знакомы с правилом, перейдите к соответствующей теме для обзора.

  Пример 1. Найдите угол θ между u = 〈6,3〉 и v = 〈5,13〉.

  Шаг 1: Найдите скалярное произведение векторов. Помните, что результатом будет скаляр. u · v = u1v1 + u2v2	u · v (6 · 5) + (3 · 13) 30 + 39 = 69
  Шаг 2: Найдите величины каждого вектора. ∥v∥ = v12 + v22	|| u || = u12 + u22 || u || = 62 + 32 || u || = 45 = 35 ______________________________ || v || = v12 + v22 || v || = 52 + 132 || v || = 194
  Шаг 3: Подставляем и решаем относительно θ. cos θ = u · v∥u∥ · v∥	cos θ = u · v∥u∥ · v∥ cos θ = 6935 · 194 = 23970 θ = cos − 123970 θ≈42 °

  Пример 2: Найдите угол θ между u = 〈3, -6〉 и v = 〈8,4〉.

  Шаг 1: Найдите скалярное произведение векторов. Помните, что результатом будет скаляр. u · v = u1v1 + u2v2	u · v (3,8) + (- 6,4) 24−24 = 0
  Шаг 2: Найдите величины каждого вектора. ∥v∥ = v12 + v22	|| u || = u12 + u22 || u || = 32 + (- 6) 2 || u || = 45 = 35 ______________________________ || v || = v12 + v22 || v || = 82 + 42 || v || = 80 = 220
  Шаг 3: Подставляем и решаем относительно θ. cos θ = u · v∥u∥ · v∥ Как только вы определите, что скалярное произведение равно 0, вам не нужно вычислять величины. Они здесь завершены для вашей пользы. Обратите внимание, что когда два вектора в стандартном положении имеют скалярное произведение, равное 0, угол между ними составляет 90 °.	cos θ = u · v∥u∥ · v∥ cos θ = 035 · 220 = 06100 = 060 θ = cos − 10 θ = 90 °

  Угол между векторами — исчисление 3

  Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

  Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

  Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

  Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

  Вы должны включить следующее:

  Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

  Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

  Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
  101 S. Hanley Rd, Suite 300
  St. Louis, MO 63105
  

  Или заполните форму ниже:

  Точечный продукт

  Вектор имеет звездную величину , (длина) и направление :

  .

  Вот два вектора:

  Их можно умножить на с помощью «скалярного произведения » (см. Также перекрестное произведение).

  Расчет

  Точечное произведение написано с использованием центральной точки:

  a · b
  Это означает скалярное произведение a и b

  Мы можем вычислить скалярное произведение двух векторов следующим образом:

  a · b = | a | × | b | × cos (θ)

  Где:
  | a | величина (длина) вектора a
  | b | — величина (длина) вектора b
  θ — угол между a и b

  Итак, мы умножаем длину a на длину b , а затем умножаем на косинус угла между a и b

  .

  ИЛИ мы можем рассчитать это так:

  a · b = a _x × b _x + a _y × b _y

  Итак, мы умножаем x, умножаем y, затем складываем.

  Оба метода работают!

  И результатом является число (называется «скаляр», поэтому мы знаем, что это не вектор).

  Пример: вычислить скалярное произведение векторов

  a и b :

  a · b = | a | × | b | × cos (θ)

  а · б = 10 × 13 × cos (59,5 °)

  а · б = 10 × 13 × 0,5075 …

  а · б = 65.98 … = 66 (округлено)

  ИЛИ мы можем рассчитать это так:

  a · b = a _x × b _x + a _y × b _y

  а · б = -6 × 5 + 8 × 12

  а · б = -30 + 96

  а · б = 66

  Оба метода дали одинаковый результат (после округления)

  Также обратите внимание, что мы использовали минус 6 для _x (это направление в отрицательном направлении x)

  Примечание: вы можете использовать векторный калькулятор чтобы помочь вам.
  

  Почему cos (θ)?

  Хорошо, для умножения двух векторов имеет смысл умножить их длины вместе , но только если они указывают в одном направлении .

  Итак, мы делаем одну «точку в том же направлении», что и другая, умножая на cos (θ):

  Возьмем компонент a , лежащий рядом с b		Как светить, чтобы увидеть там, где лежит тень

  ЗАТЕМ умножаем!

  Это работает точно так же, если мы «спроецируем» b вместе с a , а затем умножим: Потому что не имеет значения, в каком порядке мы производим умножение: | a | × | b | × cos (θ) = | a | × cos (θ) × | b |

  Прямоугольник

  Когда два вектора расположены под прямым углом друг к другу, скалярное произведение равно нулю .

  Пример: вычислить скалярное произведение для:

  a · b = | a | × | b | × cos (θ)

  a · b = | a | × | b | × cos (90 °)

  a · b = | a | × | b | × 0

  а · б = 0

  или можно рассчитать так:

  a · b = a _x × b _x + a _y × b _y

  а · б = -12 × 12 + 16 × 9

  а · б = -144 + 144

  а · б = 0

  Это может быть удобный способ узнать, находятся ли два вектора под прямым углом.

  Три или более размеров

  Все это прекрасно работает и в трех (или более) измерениях.

  И действительно может быть очень полезным!

  Пример: Сэм измерил концы двух полюсов и хочет узнать

  угол между ними :

  У нас есть 3 измерения, поэтому не забудьте про z-компоненты:

  a · b = a _x × b _x + a _y × b _y + a _z × b _z

  а · б = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10

  а · б = 36 + 16 + 70

  а · б = 122

  А теперь другая формула:

  a · b = | a | × | b | × cos (θ)

  Но что есть | a | ? Это величина или длина вектора a .Мы можем использовать Pythagoras:

  • | a | = √ (4 ² + 8 ² + 10 ² )
  • | a | = √ (16 + 64 + 100)
  • | a | = √180

  Аналогично для | b |:

  • | b | = √ (9 ² + 2 ² + 7 ² )
  • | b | = √ (81 + 4 + 49)
  • | b | = √134

  Из приведенного выше расчета мы знаем, что a · b = 122, поэтому:

  a · b = | a | × | b | × cos (θ)

  122 = √180 × √134 × cos (θ)

  cos (θ) = 122 / (√180 × √134)

  cos (θ) = 0.7855 …

  θ = cos ^-1 (0,7855 …) = 38,2 … °

  Готово!

  Однажды я попробовал такой расчет, но работал со всеми углами и расстояниями … это было очень сложно, требовало большого количества тригонометрии, и у меня болел мозг. Приведенный выше метод намного проще.

  Перекрестное произведение

  Точечное произведение дает ответ скаляр (обычное число) и иногда называется скалярным произведением .

  Но есть также перекрестное произведение, которое дает в качестве ответа вектор , который иногда называют векторным произведением .

  по математике — угол между векторами

  Как рассчитать угол между двумя векторами?

  Это относительно просто, потому что существует только одна степень свободы для двухмерных вращений. Если v1 и v2 нормализованы так, что | v1 | = | v2 | = 1, то

  угол = acos (v1 • v2)

  где:

  • • = «точечное» произведение (см. Рамку справа на странице).
  • acos = arc cos = функция, обратная косинусу, см. Страницу тригонометрии.
  • | v1 | = величина v1.

  Единственная проблема в том, что это не даст всех возможных значений от 0 ° до 360 ° или от -180 ° до + 180 °. Другими словами, он не сообщает нам, находится ли v1 впереди или позади v2, переход от v1 к v2 — это противоположное направление от v2 к v1.

  В большинстве математических библиотек acos обычно возвращает значение от 0 до π (в радианах), которое составляет от 0 ° до 180 °.

  Если мы хотим, чтобы значение + или — указывало, какой вектор впереди, тогда нам, вероятно, потребуется использовать функцию atan2 (как описано на этой странице).использование:

  угол 2 относительно 1 = atan2 (v2.y, v2.x) — atan2 (v1.y, v1.x)

  Для обсуждения вопросов, которые следует учитывать при использовании этой формулы, см. Страницу здесь.

  Угол оси Результат

  Проще всего рассчитать, используя представление угла оси, потому что:

  • угол дается acos скалярного произведения двух (нормированных) векторов: v1 • v2 = | v1 || v2 | cos (угол)
  • ось задается поперечным произведением два вектора, длина этой оси равна | v1 x v2 | = | v1 || v2 | грех (угол).

  , как описано здесь

  это взято из этого обсуждения.

  Итак, если v1 и v2 нормализованы так, что | v1 | = | v2 | = 1, то

  угол = acos (v1 • v2)

  ось = норма (v1 x v2)

  Если векторы параллельны (угол = 0 или 180 градусов), то длина v1 x v2 будет равен нулю, потому что sin (0) = sin (180) = 0. В нулевом случае ось не имеет значения и может быть чем угодно, потому что вокруг него нет вращения. в В случае 180 градусов ось может быть любой под углом 90 градусов к векторам, поэтому это целый ряд возможных осей.

  шт.

  угол (градусы)	sin (угол)	cos (угол)	v1 • v2	v1 x v2
  0	0	1	1	0,0,0
  90	1	0	0	шт. Лин.
  180	0	–1	–1	0,0,0
  270	–1	0	0	лин.

  Кватернион Результат

  Одним из подходов может быть определение кватерниона, который при умножении на вектор вращает его:

  p ₂ = q * p ₁

  Это почти работает так, как описано на этой странице.

  Однако, чтобы повернуть вектор, мы должны использовать эту формулу:

  p ₂ = q * p ₁ * con (q)

  где:

  • p ₂ = вектор, представляющий точку после поворота
  • q = — кватернион, представляющий вращение.
  • p ₁ = вектор, представляющий точку перед поворотом

  Это немного беспорядочно решать для q, поэтому я благодарен minorlogic за следующий подход, который преобразует результат угла оси в кватернион:

  Угол оси можно преобразовать в кватернион следующим образом: пусть x, y, z, w равны элементы кватерниона, они могут быть выражены в терминах угла оси, как объяснено здесь.

  угол = arcos (v1 • v2 / | v1 || v2 |)
  ось = норма (v1 x v2)
  s = sin (угол / 2)
  x = ось. x * s
  y = axis.y * s
  z = ось. z * s
  w = cos (угол / 2)

  Мы можем использовать эту формулу триггера для половинного угла на этом страница: sin (угол / 2) = 0,5 sin (угол) / cos (угол / 2)
  

  , поэтому замена в формуле кватерниона дает:
  s = 0,5 sin (угол) / cos (угол / 2)
  x = норма (v1 x v2). x * s
  y = норма (v1 x v2).г * с
  z = норма (v1 x v2). z * s
  w = cos (угол / 2)

  умножьте x, y, z и w на 2 * cos (угол / 2) (это де-нормализует кватернион но мы всегда можем нормализовать позже)

  x = норма (v1 x v2) .x * sin (угол)
  y = норма (v1 x v2). y * sin (угол)
  z = норма (v1 x v2). z * sin (угол)
  w = 2 * cos (угол / 2) * cos (угол / 2)

  теперь замените формулу триггера половинного угла на это страница: cos (угол / 2) = sqrt (0,5 * (1 + cos (угол)))

  x = норма (v1 x v2).x * sin (угол)
  y = норма (v1 x v2). y * sin (угол)
  z = норма (v1 x v2). z * sin (угол)
  w = 1 + cos (угол)

  , потому что | v1 x v2 | = | v1 || v2 | sin (угол) мы можем нормализовать (v1 x v2), разделив это с грехом (угол),

  также применяется v1 • v2 = | v1 || v2 | cos (угол) так,

  x = (v1 x v2) .x / | v1 || v2 |
  y = (v1 x v2) .y / | v1 || v2 |
  z = (v1 x v2) .z / | v1 || v2 |
  w = 1 + v1 • v2 / | v1 || v2 |

  Если v1 и v2 уже нормализованы, то | v1 || v2 | = 1, так что

  х = (v1 х v2).х
  y = (v1 x v2). y
  z = (v1 x v2). z
  w = 1 + v1 • v2

  Если v1 и v2 еще не нормализованы, умножьте на | v1 || v2 | дает:

  x = (v1 x v2) .x
  y = (v1 x v2). y
  z = (v1 x v2). z
  w = | v1 || v2 | + v1 • v2

  Матричный результат

  Использование кватерниона к преобразованию матрицы здесь получаем:

  1-2 * кв 2 -2 * кв 2	2 * qx * ​​qy — 2 * qz * qw	2 * qx * ​​qz + 2 * qy * qw
  2 * qx * ​​qy + 2 * qz * qw	1-2 * qx 2 -2 * qz 2	2 * qy * qz — 2 * qx * ​​qw
  2 * qx * ​​qz — 2 * qy * qw	2 * qy * qz + 2 * qx * ​​qw	1-2 * кв 2 -2 * кв 2

  , подставляя приведенные выше результаты кватернионов в матрицу, мы получаем:

  (v1 x v2).