Что такое полная, активная и реактивная мощность?
ЧТО ТАКОЕ ПОЛНАЯ, АКТИВНАЯ И РЕАКТИВНАЯ МОЩНОСТЬ? ОТ СЛОЖНОГО К ПРОСТОМУ.
В повседневной жизни практически каждый сталкивается с понятием «электрическая мощность», «потребляемая мощность» или «сколько эта штука «кушает» электричества». В данной подборке мы раскроем понятие электрической мощности переменного тока для технически подкованных специалистов и покажем на картинке электрическую мощность в виде «сколько эта штука кушает электричества» для людей с гуманитарным складом ума :-). Мы раскрываем наиболее практичное и применимое понятие электрической мощности и намеренно уходим от описания дифференциальных выражений электрической мощности.
ЧТО ТАКОЕ МОЩНОСТЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА?
В цепях переменного тока формула для мощности постоянного тока может быть применена лишь для расчёта мгновенной мощности, которая сильно изменяется во времени и для практических расчётов бесполезна. Прямой расчёт среднего значения мощности требует интегрирования по времени. Для вычисления мощности в цепях, где напряжение и ток изменяются периодически, среднюю мощность можно вычислить, интегрируя мгновенную мощность в течение периода. На практике наибольшее значение имеет расчёт мощности в цепях переменного синусоидального напряжения и тока.
Для того, чтобы связать понятия полной, активной, реактивной мощностей и коэффициента мощности, удобно обратиться к теории комплексных чисел. Можно считать, что мощность в цепи переменного тока выражается комплексным числом таким, что активная мощность является его действительной частью, реактивная мощность — мнимой частью, полная мощность — модулем, а угол φ (сдвиг фаз) — аргументом. Для такой модели оказываются справедливыми все выписанные ниже соотношения.
Активная мощность (Real Power)
Единица измерения — ватт (русское обозначение: Вт, киловатт — кВт; международное: ватт -W, киловатт — kW).
Среднее за период Τ значение мгновенной мощности называется активной мощностью, и
выражается формулой:
В цепях однофазного синусоидального тока , где υ и Ι это среднеквадратичные значения напряжения и тока, а φ — угол сдвига фаз между ними.Для цепей несинусоидального тока электрическая мощность равна сумме соответствующих средних мощностей отдельных гармоник. Активная мощность характеризует скорость необратимого превращения электрической энергии в другие виды энергии (тепловую и электромагнитную). Активная мощность может быть также выражена через силу тока, напряжение и активную составляющую сопротивления цепи r или её проводимость g по формуле . В любой электрической цепи как синусоидального, так и несинусоидального тока активная мощность всей цепи равна сумме активных мощностей отдельных частей цепи, для трёхфазных цепей электрическая мощность определяется как сумма мощностей отдельных фаз. С полной мощностью S, активная связана соотношением .В теории длинных линий (анализ электромагнитных процессов в линии передачи, длина которой сравнима с длиной электромагнитной волны) полным аналогом активной мощности является проходящая мощность, которая определяется как разность между падающей мощностью и отраженной мощностью.
Реактивная мощность (Reactive Power)
Единица измерения — вольт-ампер реактивный (русское обозначение: вар, кВАР; международное: var).
Реактивная мощность — величина, характеризующая нагрузки, создаваемые в электротехнических устройствах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи синусоидального переменного тока, равна произведению среднеквадратичных значений напряжения U и тока I, умноженному на синус угла сдвига фаз φ между ними:
(если ток отстаёт от напряжения, сдвиг фаз считается положительным, если опережает — отрицательным). Реактивная мощность связана с полной мощностью S и активной мощностью P соотношением: .Физический смысл реактивной мощности — это энергия, перекачиваемая от источника на реактивные элементы приёмника (индуктивности, конденсаторы, обмотки двигателей), а затем возвращаемая этими элементами обратно в источник в течение одного периода колебаний, отнесённая к этому периоду.
Необходимо отметить, что величина sin φ для значений φ от 0 до плюс 90° является положительной величиной. Величина sin φ для значений φ от 0 до минус 90° является отрицательной величиной. В соответствии с формулойреактивная мощность может быть как положительной величиной (если нагрузка имеет активно-индуктивный характер), так и отрицательной (если нагрузка имеет активно-ёмкостный характер). Данное обстоятельство подчёркивает тот факт, что реактивная мощность не участвует в работе электрического тока. Когда устройство имеет положительную реактивную мощность, то принято говорить, что оно её потребляет, а когда отрицательную — то производит, но это чистая условность, связанная с тем, что большинство электропотребляющих устройств (например,асинхронные двигатели), а также чисто активная нагрузка, подключаемая через трансформатор, являются активно-индуктивными.
Синхронные генераторы, установленные на электрических станциях, могут как производить, так и потреблять реактивную мощность в зависимости от величины тока возбуждения, протекающего в обмотке ротора генератора. За счёт этой особенности синхронных электрических машин осуществляется регулирование заданного уровня напряжения сети. Для устранения перегрузок и повышения коэффициента мощности электрических установок осуществляется компенсация реактивной мощности.
Применение современных электрических измерительных преобразователей на микропроцессорной технике позволяет производить более точную оценку величины энергии возвращаемой от индуктивной и емкостной нагрузки в источник переменного напряжения
Полная мощность (Apparent Power)
Единица полной электрической мощности — вольт-ампер (русское обозначение: В·А, ВА, кВА-кило-вольт-ампер; международное: V·A, kVA).
Полная мощность — величина, равная произведению действующих значений периодического электрического тока I в цепи и напряжения U на её зажимах: ; соотношение полной мощности с активной и реактивной мощностями выражается в следующем виде: где P — активная мощность, Q — реактивная мощность (при индуктивной нагрузке Q›0, а при ёмкостной Q‹0).Векторная зависимость между полной, активной и реактивной мощностью выражается формулой:Полная мощность имеет практическое значение, как величина, описывающая нагрузки, фактически налагаемые потребителем на элементы подводящей электросети (провода, кабели, распределительные щиты, трансформаторы, линии электропередачи), так как эти нагрузки зависят от потребляемого тока, а не от фактически использованной потребителем энергии. Именно поэтому полная мощность трансформаторов и распределительных щитов измеряется в вольт-амперах, а не в ваттах.
Визуально и интуитивно-понятно все вышеперечисленные формульные и текстовые описания полной, реактивной и активной мощностей передает следующий рисунок 🙂
Специалисты компании НТС-групп (ТМ Электрокапризам-НЕТ) имеют огромный опыт подбора специализированного оборудования для построения систем обеспечения жизненно важных объектов бесперебойным электропитанием. Мы умеем максимально качественно учитывать множество электрических и эксплуатационных параметров, которые позволяют выбрать экономически обоснованный вариант построения системы бесперебойного электропитанияс применением стабилизаторов напряжения, топливных электростанций, источников бесперебойного питания и др. сопутствующего оборудования.
© Материал подготовлен специалистами компании НТС-групп (ТМ Электрокапризам-НЕТ) с использованием информации из открытых источников, в т.ч. из свободной энциклопедии ВикипедиЯ https://ru.wikipedia.org
Работа и мощность электрического тока в цепи
Определение 1Во время протекания тока по однородному участку цепи электрическое поле совершает работу. За пройденное время Δt по цепи имеется заряд Δq=IΔt.
Электрическое поле выделенного участка выполняет работу, формулу которой мы запишем так: ΔA=(φ1–φ2) Δq=Δφ12IΔt=UIΔt, где U=Δφ12 – напряжение. Такая величина называется работой электрического тока.
Обе части формулы RI=U выражают закон Ома для однородного участка цепи с сопротивлением R, умноженным на IΔt. В итоге получим соотношение RI2Δt=UIΔt=ΔA, выражающее закон сохранения энергии для однородного участка цепи. Работа ΔA электрического тока I, протекающего по неподвижному проводнику с сопротивлением R, преобразуется в тепло ΔQ, выделяющееся на проводнике. ΔQ=ΔA=RI2Δt.
Закон Джоуля-Ленца
Дж. Джоуль и Э. Ленц установили закон преобразования работы тока в тепло.
Формула мощности электрического тока (измеряется в амперах) записывается в виде отношения изменения работы тока ΔA за определенный промежуток времени Δt:
P=∆A∆t=UI=I2R=U2R.
Работа и мощность электрического тока обратно пропорциональны.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать заданиеПо таблице СИ понятно, в чем измеряется мощность: в ваттах (ВТ), а работа в Джоулях (Дж).
Перейдем к рассмотрению полной цепи постоянного тока, которая состоит из источника с электродвижущей силой ε и внутренним сопротивлением r на участке R. Запись основного закона Ома для полной цепи имеет вид (R + r)I=ε. При умножении обеих частей на Δq=IΔt
εIΔt – это обозначение работы сторонних сил ΔAст,действующих внутри. Если имеется замкнутая цепь, тогда ΔAстпереходит в тепло, которое выделяется во внешней цепи (ΔQ)и внутри источника (ΔQист).
ΔQ+ΔQист=ΔAст=εIΔt.
Работа сторонних сил
Работа электрического поля не входит в данное соотношение, так как в замкнутой цепи работа не совершается, следовательно, тепло идет только от внутренних сторонних сил. В данном случае электрическое поле перераспределяет тепло по всем участкам цепи.
Внешняя цепь может иметь не только проводник с R сопротивлением, но и механизм, потребляющий мощность. Такой случай говорит о том, что R эквивалентно сопротивлению нагрузки. Энергия, которая выделяется по внешней цепи, преобразуется в тепло и другие виды энергии.
Определение 3Работа, совершаемая сторонними силами за единицу времени, равняется Pист=εI=ε2R+r. Внешняя цепь характеризуется мощностью P=RI2=εI-rI2=ε2R(R+r)2.
Коэффициентом полезного источника называют отношение η=PPист, записываемое как η=PPист=1-rεI=RR+r.
Рисунок 1.11.1 показывает зависимость Pист, полезной Р, выделяемой во внешней цепи, кпд η от тока I для источника с ЭДС, равной ε, и внутренним сопротивлением r. Изменение тока в цепи происходит в пределах от I=0( при R=∞) до I=Iкз=εr( при R=0).
Рисунок 1.11.1. Зависимость мощности источника Pист, мощности во внешней цепи Р и КПД источника η от силы тока.
Приведенные графики показывают, что максимальная мощность во внешней цепи может быть достигнута при R=r и запишется Pmax=ε24r. Формула тока в цепи будет иметь вид Imax=12Iкз=ε2r, где КПД источника не превышает 50%. При
Мощности в цепях переменного тока
Расчетные формулы для цепей однофазного тока1. Мгновенное значение мощности в цепи с активным сопротивлением r, Вт:
Среднее значение активной мощности в цепи с активным сопротивлением г, Вт:
т.е. ЭДС отстает от тока, ее вызвавшего, на угол |
Падение напряжения на катушке |
Мгновенная мощность катушки |
Средняя за период мощность идеальной катушки:
Это означает, что в течение периода идеальная катушка дважды получает от источника энергию, преобразуя ее в магнитное поле, и дважды возвращает ее..
Емкостное сопротивление, Ом, |
ействующее значение тока, А,
Мгновенная мощность
Средняя мощность
Реактивная мощность конденсатора, вар,
Из изложенного следует важный для практики вывод: токи индуктивности и емкости в цепи переменного тока в каждый момент времени направлены
4. Цепь, содержащая последовательно включенные активное, индуктивное и емкостное сопротивления (рис. 1.9).
Реактивное сопротивление цепи, Ом,
Полное сопротивление цепи, Ом,
Угол сдвига фаз между векторами напряжения и тока
Коэффициент мощности цепи
Мгновенное значение приложенного напряжения равно сумме мгновенных значений падений напряжений на участках цепи:
Мгновенное значение мощности для этой цепи, Вт,
Среднее значение мощности равно активной мощности, Вт:
Реактивная мощность, вар,
Полная мощность, В-А,
При xL = xc имеет место резонанс напряжения, цепь ведет себя как чисто активная, а ток имеет наибольшее (при U = const) значение.
5. Цепь, содержащая параллельно включенные активное,
В такой цепи все элементы находятся под одинаковым напряжением источника
активная, См,
емкостная,См,
индуктивная, См,
Угол сдвига фаз тока и напряжения |
Значения мощностей рассчитываются по приведенным выше формулам.
При вс= Bl имеет место резонанс токов. Общий ток в цепи имеет минимальное значение и активный характер.
На практике параллельное включение конденсаторов в однофазной и трехфазной цепях широко используется для разгрузки питающих линий (проводов, кабелей, шин) от реактивной (индуктивной) составляющей тока. Это позволяет уменьшить потери электроэнергии в передающих линиях, и тем самым экономить ее, выбирать меньшие сечения проводов и кабелей для питания тех же самых электроприемников.
Расчет полной мощности — Help for engineer
Расчет полной мощности
Полная мощность (S) образуется из двух составляющих:
— активная мощность (P) – выполняет полезную работу (полезная мощность), превращается в другие виды энергии (тепловая энергия: водонагреватель, утюг и т.д. являются активной нагрузкой)
— реактивная мощность (Q) – бывает индуктивная и емкостная, в зависимости от нагрузки в сети. Чаще всего дома мы используем индуктивную мощность, любой электрический прибор, где есть катушка, обмотки, является реактивной нагрузкой (электродрель, миксер, холодильник). Энергия не рассеивается на реактивных элементах, она на них за один полупериод накапливается и отдается обратно в сеть. Хотя без реактивной составляющей была бы невозможна работа многих электрических приборов, ее присутствие вызывает появление ряда негативных факторов:
| — нагрев проводников; | ||
| — влияние на сеть – добавление в нее реактивной составляющей, которая плохо сказывается в дальнейшем на потребителях. |
Конечно же между выше упомянутыми параметрами существуют зависимости. Расчет полной мощности осуществляется по следующей формуле:
где U и I – действующие значения напряжения и тока соответственно.
Активная и реактивная мощности находятся в прямой зависимости с коэффициентом мощности (cosφ):
Полная мощность дает потребителям все необходимые составляющие и рассчитывается:
На рисунке ниже (треугольник мощностей) изображена зависимость полной мощности и ее составляющих от угла cosφ, который является углом сдвига между напряжением и током.
Единицы измерений приняты немного разные, хотя смысл их остается один и тот же, полная мощность измеряется в ВА (Вольт Ампер), активная мощность в Вт (Ватт), а реактивная в ВАр (Вольт Ампер реактивный).
Недостаточно прав для комментирования
Закон Ома.
Закон Ома.Программа КИП и А
В программу «КИП и А», в разделе «Электрика» включен блок расчета закона Ома для постоянного и переменного тока. Сначала немного теории..
Для постоянного тока
Закон Ома определяет зависимость между током (I), напряжением (U) и сопротивлением (R) в участке электрической цепи. Наиболее популярна формулировка:
Сила тока в участке цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна электрическому сопротивлению данного участка цепи, т.е.
| I = U / R | где | I — сила тока, измеряемая в Амперах, (A) |
| U — напряжение, измеряемое в Вольтах, (V) | ||
| R — сопротивление, измеряется в Омах, (Ω) |
Закон Ома, является основополагающим в электротехнике и электронике. Без его понимания также не представляется работа подготовленного специалиста в области КИП и А. Когда-то была даже распространена такая поговорка, — «Не знаешь закон Ома, — сиди дома..».
Помимо закона Ома, важнейшим является понятие электрической мощности, P:
Мощность постоянного тока (P) равна произведению силы тока (I) на напряжение (U), т.е.
| P = I × U | где | P — эл. мощность, измеряемая в Ваттах, (W) |
| I — сила тока, измеряемая в Амперах, (A) | ||
| U — напряжение, измеряемое в Вольтах, (V) |
Комбинируя эти две формулы, выведем зависимость между силой тока, напряжением, сопротивлением и мощностью, и создадим таблицу:
| Сила тока, | I= | U/R | P/U | √(P/R) |
| Напряжение, | U= | I×R | P/I | √(P×R) |
| Сопротивление, | R= | U/I | P/I² | U²/P |
| Мощность, | P= | I×U | I²×R | U²/R |
Практический пример использования таблицы: Покупая в магазине утюг, мощностью 1 кВт (1 кВт = 1000 Вт), высчитываем на какой минимальный ток должна быть рассчитана розетка в которую предполагается включать данную покупку:
Несмотря на то, что утюг включается в сеть переменного тока, пренебрегаем его реактивным сопротивлением (см. ниже), и используем упрощенную формулу для постоянного тока. Находим в таблице I = P / U. Получаем: 1000 кВт / 220 В (напряжение сети) = 4,5 Ампера. Это и есть минимальный ток, который должна выдерживать розетка, при подключении к ней нагрузки мощностью 1 кВт.
Наиболее распространенные множительные приставки:
- Сила тока, Амперы (A): 1 килоампер (1 kА) = 1000 А. 1 миллиампер (1 mA) = 0,001 A. 1 микроампер (1 µA) = 0,000001 A.
- Напряжение, Вольты (V): 1 киловольт (1kV) = 1000 V. 1 милливольт (1 mV) = 0,001 V. 1 микровольт (1 µV) = 0,000001 V.
- Сопротивление, Омы (Om): 1 мегаом (1 MOm) = 1000000 Om. 1 килоом (1 kOm) = 1000 Om.
- Мощность, Ватты (W): 1 мегаватт (1 MW) = 1000000 W. 1 киловатт (1 kW) = 1000 W. 1 милливатт (1 mW) = 0,001 W.
Для переменного тока
В цепи переменного тока закон Ома может иметь некоторые особенности, описанные ниже.
Импеданс, Z
В цепи переменного тока, сопротивление кроме активной (R), может иметь как емкостную (C), так и индуктивную (L) составляющие. В этом случае вводится понятие электрического импеданса, Z (полного или комплексного сопротивления для синусоидального сигнала). Упрощенные схемы комплексного сопротивления приведены на рисунках ниже, слева для последовательного, справа для параллельного соединения индуктивной и емкостной составляющих.
Последовательное включение R, L, C
Параллельное включение R, L, C
Также, полное сопротивление, Z зависит не только от емкостной (C), индуктивной (L) и активной (R) составляющих, но и от частоты переменного тока.
| Импеданс, Полное сопротивление, Z | |
| При последовательном включении R, L, C | При параллельном включении R, L, C |
| Z=√(R2+(ωL-1/ωC)2) | Z=1/ √(1/R2+(1/ωL-ωC)2) |
| где, | |
| ω = 2πγ — циклическая, угловая частота; γ — частота переменного тока. | |
Коэффициент мощности, Cos(φ)
Коэффициент мощности, в самом простом понимании, это отношение активной мощности (P) потребителя электрической энергии к полной (S) потребляемой мощности, т. е.
Cos(φ) = P / S
Он также показывает насколько сдвигается по фазе переменный ток, протекающий через нагрузку, относительно приложенного к ней напряжения.
Изменяется от 0 до 1. Если нагрузка не содержит реактивных составляющих (емкостной и индуктивной), то коэффициент мощности равен единице.
Чем ближе Cos(φ) к единице, тем меньше потерь энергии в электрической цепи.
Исходя из вышеперечисленных понятий импеданса Z и коэффициента мощности Cos(φ), характерных для переменного тока, выведем формулу закона Ома, коэффициента мощности и их производные для цепей переменного тока:
| I = U / Z | где | I — сила переменного тока, измеряемая в Амперах, (A) |
| U — напряжение переменного тока, измеряемое в Вольтах, (V) | ||
| Z — полное сопротивление (импеданс), измеряется в Омах, (Ω) |
Производные формулы:
| Сила тока, | I= | U/Z | P/(U×Cos(φ)) | √(P/Z) |
| Напряжение, | U= | I×Z | P/(I×Cos(φ)) | √(P×Z) |
| Полное сопротивление, импеданс | Z= | U/I | P/I² | U²/P |
| Мощность, | P= | I²×Z | I×U×Cos(φ) | U²/Z |
Программа «КИП и А» имеет в своем составе блок расчета закона Ома как для постоянного и переменного тока, так и для расчета импеданса и коэффициента мощности Cos(φ). Скриншоты представлены на рисунках внизу:
Закон Ома для постоянного тока
Закон Ома для переменного тока
Расчет полного сопротивления
Расчет коэффициента мощности Cos(φ)
как найти, формула расчёта, в чем измеряется
Все мы ежедневно сталкиваемся с электроприборами, кажется, без них наша жизнь останавливается. И у каждого из них в технической инструкции указана мощность. Сегодня мы разберемся что же это такое, узнаем виды и способы расчета.
Мощность в цепи переменного электрического тока
Электроприборы, подключаемые к электросети работают в цепи переменного тока, поэтому мы будем рассматривать мощность именно в этих условиях. Однако, сначала, дадим общее определение понятию.
Мощность — физическая величина, отражающая скорость преобразования или передачи электрической энергии.
В более узком смысле, говорят, что электрическая мощность – это отношение работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.
Если перефразировать данное определение менее научно, то получается, что мощность – это некое количество энергии, которое расходуется потребителем за определенный промежуток времени. Самый простой пример – это обычная лампа накаливания. Скорость, с которой лампочка превращает потребляемую электроэнергию в тепло и свет, и будет ее мощностью. Соответственно, чем выше изначально этот показатель у лампочки, тем больше она будет потреблять энергии, и тем больше отдаст света.
Поскольку в данном случае происходит не только процесс преобразования электроэнергии в некоторую другую (световую, тепловую и т.д.), но и процесс колебания электрического и магнитного поля, появляется сдвиг фазы между силой тока и напряжением, и это следует учитывать при дальнейших расчетах.
При расчете мощности в цепи переменного тока принято выделять активную, реактивную и полную составляющие.
Понятие активной мощности
Активная «полезная» мощность — это та часть мощности, которая характеризует непосредственно процесс преобразования электрической энергии в некую другую энергию. Обозначается латинской буквой P и измеряется в ваттах (Вт).
Рассчитывается по формуле: P = U⋅I⋅cosφ,
где U и I – среднеквадратичное значение напряжения и силы тока цепи соответственно, cos φ – косинус угла сдвига фазы между напряжением и током.
ВАЖНО! Описанная ранее формула подходит для расчета цепей с напряжением 220В, однако, мощные агрегаты обычно используют сеть с напряжением 380В. В таком случае выражение следует умножить на корень из трех или 1.73
Понятие реактивной мощности
Реактивная «вредная» мощность — это мощность, которая образуется в процессе работы электроприборов с индуктивной или емкостной нагрузкой, и отражает происходящие электромагнитные колебания. Проще говоря, это энергия, которая переходит от источника питания к потребителю, а потом возвращается обратно в сеть.
Использовать в дело данную составляющую естественно нельзя, мало того, она во многом вредит сети питания, потому обычно его пытаются компенсировать.
Обозначается эта величина латинской буквой Q.
ЗАПОМНИТЕ! Реактивная мощность измеряется не в привычных ваттах (Вт), а в вольт-амперах реактивных (Вар).
Рассчитывается по формуле:
Q = U⋅I⋅sinφ,
где U и I – среднеквадратичное значение напряжения и силы тока цепи соответственно, sinφ – синус угла сдвига фазы между напряжением и током.
ВАЖНО! При расчете данная величина может быть как положительной, так и отрицательной – в зависимости от движения фазы.
Емкостные и индуктивные нагрузки
Главным отличием реактивной (емкостной и индуктивной) нагрузки – наличие, собственно, емкости и индуктивности, которые имеют свойство запасать энергию и позже отдавать ее в сеть.
Индуктивная нагрузка преобразует энергию электрического тока сначала в магнитное поле (в течение половины полупериода), а далее преобразует энергию магнитного поля в электрический ток и передает в сеть. Примером могут служить асинхронные двигатели, выпрямители, трансформаторы, электромагниты.
ВАЖНО! При работе индуктивной нагрузки кривая тока всегда отстает от кривой напряжения на половину полупериода.
Емкостная нагрузка преобразует энергию электрического тока в электрическое поле, а затем преобразует энергию полученного поля обратно в электрический ток. Оба процесса опять же протекают в течение половины полупериода каждый. Примерами являются конденсаторы, батареи, синхронные двигатели.
ВАЖНО! Во время работы емкостной нагрузки кривая тока опережает кривую напряжения на половину полупериода.
Коэффициент мощности cosφ
Коэффициент мощности cosφ (читается косинус фи)– это скалярная физическая величина, отражающая эффективность потребления электрической энергии. Проще говоря, коэффициент cosφ показывает наличие реактивной части и величину получаемой активной части относительно всей мощности.
Коэффициент cosφ находится через отношение активной электрической мощности к полной электрической мощности.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! При более точном расчете следует учитывать нелинейные искажения синусоиды, однако, в обычных расчетах ими пренебрегают.
Значение данного коэффициента может изменяться от 0 до 1 (если расчет ведется в процентах, то от 0% до 100%). Из расчетной формулы не сложно понять, что, чем больше его значение, тем больше активная составляющая, а значит лучше показатели прибора.
Понятие полной мощности. Треугольник мощностей
Полная мощность – это геометрически вычисляемая величина, равная корню из суммы квадратов активной и реактивной мощностей соответственно. Обозначается латинской буквой S.
Также рассчитать полную мощность можно путем перемножения напряжения и силы тока соответственно.
S = U⋅I
ВАЖНО! Полная мощность измеряется в вольт-амперах (ВА).
Треугольник мощностей – это удобное представление всех ранее описанных вычислений и соотношений между активной, реактивной и полной мощностей.
Катеты отражают реактивную и активную составляющие, гипотенуза – полную мощность. Согласно законам геометрии, косинус угла φ равен отношению активной и полной составляющих, то есть он является коэффициентом мощности.
Как найти активную, реактивную и полную мощности. Пример расчета
Все расчеты строятся на указанных ранее формулах и треугольнике мощностей. Давайте рассмотрим задачу, наиболее часто встречающуюся на практике.
Обычно на электроприборах указана активная мощность и значение коэффициента cosφ. Имея эти данные несложно рассчитать реактивную и полную составляющие.
Для этого разделим активную мощность на коэффициент cosφ и получим произведение тока и напряжения. Это и будет полной мощностью.
Далее, исходя из треугольника мощностей, найдем реактивную мощность равную квадрату из разности квадратов полной и активной мощностей.
Как измеряют cosφ на практике
Значение коэффициента cosφ обычно указано на бирках электроприборов, однако, если необходимо измерить его на практике пользуются специализированным прибором – фазометром. Также с этой задачей легко справится цифровой ваттметр.
Если полученный коэффициент cosφ достаточно низок, то его можно компенсировать практически. Осуществляется это в основном путем включения в цепь дополнительных приборов.
- Если необходимо скорректировать реактивную составляющую, то следует включить в цепь реактивный элемент, действующий противоположно уже функционирующему прибору. Для компенсации работы асинхронного двигателя, для примера индуктивной нагрузки, в параллель включается конденсатор. Для компенсации синхронного двигателя подключается электромагнит.
- Если необходимо скорректировать проблемы нелинейности в схему вводят пассивный корректор коэффициента cosφ, к примеру, это может быть дроссель с высокой индуктивностью, подключаемый последовательно с нагрузкой.
Мощность – это один из важнейших показателей электроприборов, поэтому знать какой она бывает и как рассчитывается, полезно не только школьникам и людям, специализирующимся в области техники, но и каждому из нас.
Как считать электрическую мощность?
Чтобы обеспечить нормальное функционирование электрической проводки, необходимо ещё на этапе проектирования правильно рассчитать мощность, подобрать кабель подходящего сечения. От этого зависит не только срок эксплуатации системы, но и пожаробезопасность сооружения. Если выбрать сечение ошибочно или неправильно рассчитать мощность, можно столкнуться с такими опасными последствиями, как возгорание электропроводки, короткие замыкания, пожар и пр. При выборе оборудования и кабельно-проводниковой продукции важно учитывать разные критерии, среди которых напряжение, сила тока, особенности эксплуатации сети.
Формула расчёта
В уже функционирующей сети измерить мощность электрического тока можно при помощи специального оборудования. Что же делать на этапе проектирования? Ведь самой цепи ещё нет. В этом случае применяется расчётный метод.
Существует два вида мощности: активная и реактивная. Активная превращается в полезную энергию безвозвратно, считается полезной. Реактивная предусматривает затрату определенного (расчетного согласно установленного оборудования и типа оборудования) количества энергии.
В нашем случае реактивная мощность нам не интересна, и мы не будем ее рассчитывать!
В цепях переменного тока, ток и напряжения сдвигаются относительно друг друга.
Этот сдвиг на угол cos обозначается буквой φ (фи).
При расчёте мощности электрической мощности следует учитывать тип сети:
P=U*I*cosφ — для однофазной;
P=√3*U*I*cosφ — для трехфазной.
U – это напряжение сети,
I – сила тока,
cosφ – коэффициент мощности.
cosφ – коэффициент мощности, это паспортная величина оборудования, если не известно о типе оборудования (например, квартиры), то cosφ – расчетный и берется из инструкции по проектированию (СП 256.1325800.2016)
Зависимость коэффициента мощности
Чтобы рассчитать полную (Обращаем внимание, что имеется ввиду установленная, т.е. полная мощность) мощность, необходимо определить суммарную мощность всей техники и оборудования, которые будут эксплуатироваться, и подключаться к данной электрической сети. Это можно узнать путём суммирования мощностей приборов (этот показатель указан в паспорте товара).
При определении коэффициента мощности учитывается характер нагрузки. К примеру, для нагревательного оборудования он близится к 1. Важно учитывать, что любая активная нагрузка предполагает незначительную реактивную составляющую, поэтому коэффициент мощности будет равен не 1, а 0,95. Для более мощных приборов – 0,8. Напряжение для однофазных цепей принимается 220 В, для трехфазных – 380 В.
Производные правила
Производная сообщает нам наклон функции в любой точке.
Есть правил , которым мы можем следовать, чтобы найти множество деривативов.
Например:
- Наклон постоянного значения (например, 3) всегда 0
- Наклон линии , например, 2x равен 2, или 3x равен 3 и т. Д.
- и так далее.
Вот полезные правила, которые помогут вам вычислить производные многих функций (с примерами ниже).Примечание: маленькая метка ’означает производную от , а f и g — функции.
| Общие функции | Функция | Производная |
|---|---|---|
| Константа | c | 0 |
| Линия | х | 1 |
| топор | а | |
| Квадрат | х 2 | 2x |
| Квадратный корень | √x | (½) x -½ |
| Экспоненциальная | e x | e x |
| а x | ln (a) a x | |
| Логарифмы | лин (х) | 1 / х |
| журнал a (x) | 1 / (x ln (а)) | |
| Тригонометрия (x в радианах) | грех (х) | cos (x) |
| cos (x) | −sin (x) | |
| желто-коричневый (x) | сек 2 (x) | |
| Обратная тригонометрия | sin -1 (x) | 1 / √ (1 − x 2 ) |
| cos -1 (x) | -1 / √ (1-х 2 ) | |
| желто-коричневый -1 (x) | 1 / (1 + х 2 ) | |
| Правила | Функция | Производная |
| Умножение на константу | cf | cf ’ |
| Правило мощности | x н | нкс н — 1 |
| Правило суммы | ж + г | f ’+ g’ |
| Правило разницы | ф — г | f ’- g’ |
| Правило продукта | fg | f g ’+ f’ g |
| Правило частного | ф / г | f ’g — g’ f g 2 |
| Взаимное правило | 1 / f | −f ’/ f 2 |
| Правило цепочки (как «Состав функций») | f º g | (f ’º g) × g’ |
| Цепное правило (используя ’) | ф (г (х)) | f ’(g (x)) g’ (x) |
| Цепное правило (с использованием d dx ) | dy dx знак равно dy du du dx | |
Также пишется «Производная от» d dx
Так d dx sin (x) и sin (x) ’оба означают« производную sin (x) »
Примеры
Пример: какова производная sin (x)?
Из приведенной выше таблицы это указано как cos (x)
Это можно записать как:
d dx sin (x) = cos (x)
или:
sin (x) ’= cos (x)
Правило мощности
Пример: что такое
d dx x 3 ?Возникает вопрос: «Какая производная x 3 ?»
Мы можем использовать правило мощности, где n = 3:
d dx x n = nx n − 1
d dx x 3 = 3x 3−1 = 3x 2
(Другими словами, производная от x 3 равна 3x 2 )
Итак, это просто:
«умножить на мощность
, затем уменьшить мощность на 1″
Его также можно использовать в таких случаях:
Пример: что такое
d dx (1 / x)?1 / x также равно x -1
Мы можем использовать правило мощности, где n = −1:
d dx x n = nx n − 1
d dx x -1 = -1x -1-1
= −x -2
= −1 x 2
Итак, мы только что сделали это:
, что упрощается до −1 / x 2
Умножение на константу
Пример: что такое
d dx 5x 3 ?производная от cf = cf ’
производная 5f = 5f ’
Мы знаем (из правила власти):
d dx x 3 = 3x 3−1 = 3x 2
Итак:
d dx 5x 3 = 5 d dx x 3 = 5 × 3x 2 = 15x 2
Правило суммы
Пример: Какова производная от x
2 + x 3 ?Правило суммы говорит:
производная от f + g = f ’+ g’
Итак, мы можем вычислить каждую производную отдельно, а затем сложить их.
Использование правила мощности:
А так:
производная от x 2 + x 3 = 2x + 3x 2
Правило разницы
То, что мы различаем, не обязательно должно быть x , это может быть что угодно. В данном случае v :
Пример: Что такое
d dv (v 3 −v 4 )?Правило разницы говорит:
производная от f — g = f ’- g’
Итак, мы можем вычислить каждую производную отдельно, а затем вычесть их.
Использование правила мощности:
А так:
производная от v 3 — v 4 = 3v 2 — 4v 3
Правила суммы, разности, постоянного умножения и мощности
Пример: Что такое
d dz (5z 2 + z 3 — 7z 4 )?Использование правила мощности:
- d dz z 2 = 2z
- d dz z 3 = 3z 2
- d dz z 4 = 4z 3
А так:
d dz (5z 2 + z 3 — 7z 4 ) = 5 × 2z + 3z 2 — 7 × 4z 3
= 10z + 3z 2 — 28z 3
Правило продукта
Пример: Какая производная от cos (x) sin (x)?
Правило продукта гласит:
производная от fg = f g ’+ f’ g
В нашем случае:
Мы знаем (из таблицы выше):
- d dx cos (x) = −sin (x)
- d dx sin (x) = cos (x)
Итак:
производная от cos (x) sin (x) = cos (x) cos (x) — sin (x) sin (x)
= cos 2 (x) — sin 2 (x)
Правило частного
Чтобы помочь вам запомнить:
( f г ) ’= gf’ — fg ’ г 2
Производная от максимума над минимальным:
«Low dHigh минус High dLow, над линией и возложить на нижнюю границу»
Пример: Какова производная cos (x) / x?
В нашем случае:
Мы знаем (из таблицы выше):
Итак:
производная от cos (x) x = Low dHigh минус High dLow возвести в квадрат Low
= x (−sin (x)) — cos (x) (1) x 2
= — xsin (x) + cos (x) x 2
Взаимное правило
Пример: что такое
d dx (1 / x)?Взаимное правило говорит:
производная от 1 f = −f ’ f 2
При f (x) = x мы знаем, что f ’(x) = 1
Итак:
производная от 1 x = −1 x 2
Это тот же результат, который мы получили выше, используя правило мощности.
Правило цепочки
Пример: Что такое
d dx грех (х 2 )?sin (x 2 ) состоит из sin () и x 2 :
Цепное правило говорит:
производная от f (g (x)) = f ‘(g (x)) g’ (x)
Индивидуальные производные финансовые инструменты:
- f ‘(г) = cos (г)
- г ‘(x) = 2x
Итак:
d dx sin (x 2 ) = cos (g (x)) (2x)
= 2x cos (x 2 )
Другой способ написания правила цепочки: dy dx знак равно dy du du dx
Давайте снова сделаем предыдущий пример, используя эту формулу:
Пример: Что такое
d dx грех (х 2 )?dy dx знак равно dy du du dx
Пусть u = x 2 , поэтому y = sin (u):
d dx sin (x 2 ) = d du грех (у) d dx х 2
Различить каждый:
d dx sin (x 2 ) = cos (u) (2x)
Заменить обратно u = x 2 и упростить:
d dx sin (x 2 ) = 2x cos (x 2 )
Тот же результат, что и раньше (слава богу!)
Еще пара примеров цепного правила:
Пример: Что такое
d dx (1 / cos (x))?1 / cos (x) состоит из 1 / g и cos () :
Цепное правило говорит:
производная от f (g (x)) = f ’(g (x)) g’ (x)
Индивидуальные производные финансовые инструменты:
- f ‘(г) = -1 / (г 2 )
- г ‘(x) = −sin (x)
Итак:
(1 / cos (x)) ’= −1 г (x) 2 (−sin (x))
= sin (x) cos 2 (x)
Примечание: sin (x) cos 2 (x) также является tan (x) cos (x) или многими другими формами.
Пример: Что такое
d dx (5x − 2) 3 ?Цепное правило говорит:
производная от f (g (x)) = f ’(g (x)) g’ (x)
(5x − 2) 3 состоит из г 3 и 5x − 2 :
Индивидуальные производные финансовые инструменты:
- f ‘(g) = 3g 2 (по правилу мощности)
- г ‘(х) = 5
Итак:
d dx (5x − 2) 3 = (3g (x) 2 ) (5) = 15 (5x − 2) 2
6800, 6801, 6802, 6803, 6804, 6805, 6806, 6807, 6808, 6809, 6810, 6811, 6812
3.{n-1}. \ cr } $$
Позже мы увидим, почему работают другие случаи правила мощности, но из теперь мы будем использовать правило мощности всякий раз, когда $ n $ — любое действительное число. Отметим здесь простой случай, когда применяется правило мощности, или почти применяется, но на самом деле не требуется. 0 $, хотя есть некоторый вопрос о том, что это означает при $ x = 0 $.2 \). Удивительное количество функций можно рассматривать как составные, и ко всем из них можно применить цепное правило.
Содержание
- Как работает формула цепного правила
- Примеры применения цепного правила
- Сводка
реклама
Как работает формула цепного правила
Цепное правило гласит, что если \ (h \) и \ (g \) — функции и \ (f (x) = g (h (x)) \), то
Это выглядит сложным, поэтому давайте разберемся с ним.Основная функция \ (f (x) \) формируется путем подключения \ (h (x) \) к функции \ (g \). Вы можете думать о \ (g \) как о «внешней функции», а \ (h \) как о «внутренней функции». Используя цепное правило, если вы хотите найти производную основной функции \ (f (x) \), вы можете сделать это, взяв производную внешней функции \ (g \), а затем умножив ее на производную от внутренняя функция \ (h \). Другими словами, вы находите производную от \ (f (x) \), находя производную от его частей.
Примеры использования правила цепочки
Применяя правило цепочки, мы всегда будем сосредотачиваться на выяснении того, какие функции «снаружи» и «внутри» являются в первую очередь.2-2x + 1} \). Все это составные функции, и для каждой из них цепное правило было бы лучшим подходом к нахождению производной.
Подпишитесь на нашу рассылку новостей!
Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.
Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!
Связанные7.Дифференцирующие полномочия функции
М. Борна
Функция функции
Если y является функцией u , а u является функция x , тогда мы говорим
« y является функцией функции u «.
Пример 1
Рассмотрим функцию
y = (5 x + 7) 12 .
Если мы допустим u = 5 x + 7 (самое внутреннее выражение), то мы могли бы записать нашу исходную функцию как
y = u 12
Мы записали y как функцию от u , и, в свою очередь, u — это функция от x .
Это жизненно важная концепция для дифференциации, поскольку многие из функций, с которыми мы встречаемся с этого момента, будут функциями функций, и нам необходимо распознать их, чтобы правильно их различать.
Правило цепочки
Чтобы найти производную функции от функции, нам нужно использовать правило цепочки:
`(dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx)`
Это означает, что нам нужно
- Распознать `u` (всегда выбирайте самое внутреннее выражение, обычно часть внутри скобок или под знаком квадратного корня). (n-1) (du) / (dx`
, где u = 2 x 3 — 1 и n = 4.2) `
Поиграйте с этим примером задачи на странице интерактивного апплета «Дифференциация».
Производные степенных функций от e | Исчисление Ссылка
Пример производных от e
Константа пропорциональности
Когда мы говорим, что отношения или явления являются «экспоненциальными», мы подразумеваем, что некоторая величина — электрический ток, прибыль, население — увеличивается быстрее по мере роста количества. Другими словами, скорость изменения данной переменной пропорциональна значению этой переменной.\ frac {V_D} {0.026} $$.
СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:
Правило цепочки
Это обсуждение будет сосредоточено на цепном правиле дифференциации . Цепное правило позволяет дифференцировать составные функции, обозначенные f∘g. Например, возьмите составную функцию (x + 3) 2 . Внутренняя функция равна g = x + 3. Если x + 3 = u, тогда внешняя функция принимает вид f = u 2 .Это правило гласит, что:
Производная сложной функции — это производная внешней функции, умноженная на производную внутренней функции
ЦЕПНОЕ ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ:
(f∘g) (x) = f ′ (g (x)) · g ′ (x) 900 · 10 · 10
Давайте поработаем несколько примеров
Для работы этих примеров требуется использование различных правил дифференциации.Если вы не знакомы с правилом, перейдите к соответствующей теме для обзора.
(5x + 3) 2
Шаг 1. Определите внутреннюю функцию и перепишите внешнюю функцию, заменив внутреннюю функцию переменной u.
г = 5x + 3 Внутренняя функция
и = 5х + 3 Установите внутреннюю функцию на u
f = u 2 Внешняя функция
Шаг 2: Возьмите производную обеих функций.
Производная f = u 2
ddxu2 Оригинал
2u1−0 Мощность и постоянная
2u
______________________________
Производная от g = x + 3
ddx5x + 3 Оригинал
ddx5x + ddx3 Правило суммы
5ddxx + 3 Постоянное кратное
5x 0 + 0 Мощность и постоянная
5
Шаг 3: Подставьте производные и исходное выражение для переменной u в правило цепочки и упростите.
(f∘g) (x) = f ′ (g (x)) · g ′ (x)
2u (5) Правило цепи
2 (5x + 3) (5) Заменить u
50x + 30 Упрощать
Если сначала упрощается выражение, цепное правило не требуется.
Шаг 1. Упростите
(5x + 3) 2 = (5x + 3) (5x + 3)
25x 2 + 15x + 15x + 9
25x 2 + 30x + 9
Шаг 2: Дифференцируйте без цепного правила.
ddx (25×2 + 30x + 9) Исходный
ddx25x2 + ddx30x + ddx9 Правило суммы
25ddxx2 + 30ddxx + ddx9 Постоянное кратное
25 (2x 1 ) + 30x 0 + 0 Мощность и постоянная
50x + 30
Пример 1: 1×2 − x + 14
Шаг 1. Определите внутреннюю функцию и перепишите внешнюю функцию, заменив внутреннюю функцию переменной u.
г = х 2 — х + 14 Внутренняя функция
и = х 2 — х + 14 Установите IF в u
f = u − 12 Внешняя функция
Шаг 2: Возьмите производную обеих функций.
Производная от f = u − 12
ddxu − 12 Оригинал
−12u − 32Мощность
−12u − 32
__________________________
Производная от g = x 2 — x + 14
ddx (x2 − x + 14) Исходный
ddxx2 − ddxx + ddx14 Правило суммы / разности
2x 1 — 1x 0 + 0 Мощность / Постоянная
2x − 1
Шаг 3: Подставьте производные и исходное выражение для переменной u в правило цепочки и упростите.
(f∘g) (x) = f ′ (g (x)) · g ′ (x)
−12u − 32 · 2x − 1 Правило цепи
[−12 (x2 − x + 14) −32] · (2x − 1) Подп.
[−12 (x2 − x + 14) −32] · (2x − 1)
Пример 2: (1−2x3x) 2
Шаг 1. Определите внутреннюю функцию и перепишите внешнюю функцию, заменив внутреннюю функцию переменной u.
g = (1−2x3x) Внутренняя функция
u = (1−2x3x) Установите IF в u
f = u 2 Внешняя функция
Шаг 2: Возьмите производную обеих функций.
Производная f = u 2
ddxu2 Оригинал
2u 1 Питание
2u
________________________
Производная от g = 1−2x3x
ddx (1−2x3x) Исходный
Применить правило цепочки:
[(x) ddx (1−2×3)] — [(1−2×3) ddx (x)] x2
[(x) (- 6×2)] — [(1−2×3) (1)] x2 Возьмем производную.
[−6×3] — [1−2×3] x2 Упростить
−4×3−1×2
Шаг 3: Подставьте производные и исходное выражение для переменной u в правило цепочки и упростите.
(f∘g) (x) = f ′ (g (x)) · g ′ (x)
2u · −4×3−1×2 Цепное правило
2 (1−2x3x) · −4×3−1x2Sub для u
(2−4×3) (- 4×3−1) x3
3.6 Правило цепочки — Исчисление Том 1
Цели обучения
- 3.6.1 Сформулируйте правило цепочки для композиции двух функций.
- 3.6.2 Примените правило цепочки вместе с правилом мощности.
- 3.6.3 Правильно применять правило цепочки и правила продукта / отношения в комбинации, когда необходимы оба правила.
- 3.6.4 Распознавать цепное правило для композиции из трех или более функций.
- 3.6.5 Опишите доказательство цепного правила.
Мы познакомились с методами различения основных функций (xn, sinx, cosx и т. Д.).) (xn, sinx, cosx и т. д.), а также суммы, разности, произведения, частные и постоянные кратные этих функций. Однако эти методы не позволяют нам различать композиции функций, такие как h (x) = sin (x3) h (x) = sin (x3) или k (x) = 3×2 + 1.k (x) = 3×2 +1. В этом разделе мы изучаем правило нахождения производной композиции двух или более функций.
Вывод правила цепочки
Когда у нас есть функция, которая представляет собой композицию из двух или более функций, мы могли бы использовать все методы, которые мы уже изучили, чтобы различать ее.Однако использование всех этих техник для разбиения функции на более простые части, которые мы можем различать, может оказаться громоздким. Вместо этого мы используем цепное правило, которое гласит, что производная сложной функции — это производная внешней функции, вычисленная как внутренняя функция, умноженная на производную внутренней функции.
Чтобы поместить это правило в контекст, давайте рассмотрим пример: h (x) = sin (x3) .h (x) = sin (x3). Мы можем думать о производной этой функции относительно x как о скорости изменения sin (x3) sin (x3) относительно изменения x.Икс. Следовательно, мы хотим знать, как sin (x3) sin (x3) изменяется при изменении xx. Мы можем думать об этом событии как о цепной реакции: при изменении xx изменяется x3x3, что приводит к изменению sin (x3) .sin (x3). Эта цепная реакция дает нам подсказки относительно того, что участвует в вычислении производной sin (x3) .sin (x3). Прежде всего, изменение xx, вызывающее изменение x3x3, предполагает, что каким-то образом задействована производная x3x3. Кроме того, изменение x3x3, вызывающее изменение sin (x3) sin (x3), предполагает, что производная sin (u) sin (u) по u, u, где u = x3, u = x3, также равна часть окончательной производной.
Мы можем более формально взглянуть на производную h (x) = sin (x3) h (x) = sin (x3), установив предел, который даст нам производную при конкретном значении aa в области h (x) = sin (x3). h (x) = sin (x3).
h ′ (a) = limx → asin (x3) −sin (a3) x − a.h ′ (a) = limx → asin (x3) −sin (a3) x − a.Это выражение не кажется особенно полезным; однако мы можем изменить его, умножив и разделив на выражение x3 − a3x3 − a3, чтобы получить
h ′ (a) = limx → asin (x3) −sin (a3) x3 − a3 · x3 − a3x − ah ′ (a) = limx → asin (x3) −sin (a3) x3 − a3 · x3 − a3x− а.Из определения производной мы можем видеть, что второй множитель является производной от x3x3 при x = a.x = a. То есть
limx → ax3 − a3x − a = ddx (x3) x = a = 3a2.limx → ax3 − a3x − a = ddx (x3) x = a = 3a2.Однако было бы немного сложнее признать, что первый член также является производным инструментом. В этом можно убедиться, положив u = x3u = x3 и заметив, что при x → a, u → a3: x → a, u → a3:
limx → asin (x3) −sin (a3) x3 − a3 = limu → a3sinu − sin (a3) u − a3 = ddu (sinu) u = a3 = cos (a3) .limx → asin (x3) −sin (a3 ) x3 − a3 = limu → a3sinu − sin (a3) u − a3 = ddu (sinu) u = a3 = cos (a3).Таким образом, h ′ (a) = cos (a3) · 3a2.h ′ (a) = cos (a3) · 3a2.
Другими словами, если h (x) = sin (x3), h (x) = sin (x3), то h ′ (x) = cos (x3) · 3×2.h ′ (x) = cos (x3) · 3×2. Таким образом, если мы подумаем о h (x) = sin (x3) h (x) = sin (x3) как о композиции (f∘g) (x) = f (g (x)) (f∘g) (x ) = f (g (x)), где f (x) = f (x) = sin xx и g (x) = x3, g (x) = x3, то производная h (x) = sin (x3) h (x) = sin (x3) — произведение производной функции g (x) = x3g (x) = x3 и производной функции f (x) = sinxf (x) = sinx, вычисленной с помощью функции g ( х) = х3. g (х) = х3. На этом этапе мы ожидаем, что для h (x) = sin (g (x)), h (x) = sin (g (x)) вполне вероятно, что h ′ (x) = cos (g (x )) g ′ (x).h ′ (x) = cos (g (x)) g ′ (x). Как мы определили выше, это имеет место для h (x) = sin (x3). H (x) = sin (x3).
Теперь, когда мы вывели частный случай цепного правила, мы сформулируем общий случай, а затем применим его в общей форме к другим составным функциям. Неофициальное доказательство приводится в конце раздела.
Правило: правило цепочки
Пусть ff и gg — функции. Для всех x в области gg, для которых gg дифференцируем в x , а ff дифференцируем в g (x), g (x), производная сложной функции
h (x) = (f∘g) (x) = f (g (x)) h (x) = (f∘g) (x) = f (g (x))выдается
h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x).h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x).(3,17)
В качестве альтернативы, если yy является функцией u, u, а uu является функцией x, x, то
dydx = dydu · dudx.dydx = dydu · dudx.Стратегия решения проблем
Стратегия решения проблем: применение правила цепочки
- Чтобы дифференцировать h (x) = f (g (x)), h (x) = f (g (x)), начните с определения f (x) f (x) и g (x) .g (x).
- Найдите f ′ (x) f ′ (x) и оцените его в g (x) g (x), чтобы получить f ′ (g (x)). F ′ (g (x)).
- Найдите g ′ (x) .g ′ (x).
- Запишите h ′ (x) = f ′ (g (x)) · g ′ (x).h ′ (x) = f ′ (g (x)) · g ′ (x).
Примечание : При применении правила цепочки к композиции двух или более функций имейте в виду, что мы работаем извне, выполняя функцию внутрь. Также полезно помнить, что производная композиции двух функций может считаться состоящим из двух частей; производная от композиции трех функций состоит из трех частей; и так далее. Кроме того, помните, что мы никогда не оцениваем производный инструмент по производному инструменту.
Объединение правил цепи и силы
Теперь мы можем применить цепное правило к составным функциям, но обратите внимание, что нам часто нужно использовать его с другими правилами.Например, чтобы найти производные функций вида h (x) = (g (x)) n, h (x) = (g (x)) n, нам нужно использовать цепное правило в сочетании с правилом мощности. Для этого мы можем представить h (x) = (g (x)) nh (x) = (g (x)) n как f (g (x)) f (g (x)), где f (x ) = xn.f (x) = xn. Тогда f ′ (x) = nxn − 1. f ′ (x) = nxn − 1. Таким образом, f ′ (g (x)) = n (g (x)) n − 1. f ′ (g (x)) = n (g (x)) n − 1. Это приводит нас к производной степенной функции с использованием цепного правила
h ′ (x) = n (g (x)) n − 1g ′ (x) h ′ (x) = n (g (x)) n − 1g ′ (x)Правило: Правило мощности для композиции функций
Для всех значений x , для которых определена производная, если
ч (х) = (г (х)) п.ч (х) = (г (х)) п.Затем
h ′ (x) = n (g (x)) n − 1g ′ (x). h ′ (x) = n (g (x)) n − 1g ′ (x).(3,18)
Пример 3,48
Использование правил цепочки и мощности
Найти производную h (x) = 1 (3×2 + 1) 2. h (x) = 1 (3×2 + 1) 2.
Решение
Сначала перепишем h (x) = 1 (3×2 + 1) 2 = (3×2 + 1) −2.h (x) = 1 (3×2 + 1) 2 = (3×2 + 1) −2.
Применяя правило мощности с g (x) = 3×2 + 1, g (x) = 3×2 + 1, получаем
h ′ (x) = — 2 (3×2 + 1) −3 (6x). h ′ (x) = — 2 (3×2 + 1) −3 (6x).Возврат к исходной форме дает нам
h ′ (x) = — 12x (3×2 + 1) 3.h ′ (x) = — 12x (3×2 + 1) 3.КПП 3.34
Найти производную h (x) = (2×3 + 2x − 1) 4. h (x) = (2×3 + 2x − 1) 4.
Пример 3,49
Использование правил цепочки и степеней с тригонометрической функцией
Найдите производную от h (x) = sin3x.h (x) = sin3x.
Решение
Сначала вспомните, что sin3x = (sinx) 3, sin3x = (sinx) 3, поэтому мы можем переписать h (x) = sin3xh (x) = sin3x как h (x) = (sinx) 3.h (x) = ( sinx) 3.
Применяя правило мощности с g (x) = sinx, g (x) = sinx, получаем
h ′ (x) = 3 (sinx) 2cosx = 3sin2xcosx.h ′ (x) = 3 (sinx) 2cosx = 3sin2xcosx.Пример 3.50
Нахождение уравнения касательной
Найдите уравнение прямой, касательной к графику h (x) = 1 (3x − 5) 2h (x) = 1 (3x − 5) 2 при x = 2.x = 2.
Решение
Поскольку мы находим уравнение прямой, нам нужна точка. Координата x точки равна 2. Чтобы найти координату y , подставьте 2 в h (x) .h (x). Поскольку h (2) = 1 (3 (2) −5) 2 = 1, h (2) = 1 (3 (2) −5) 2 = 1, точка равна (2,1).(2,1).
Для наклона нам понадобится h ′ (2) .h ′ (2). Чтобы найти h ′ (x), h ′ (x), сначала мы перепишем h (x) = (3x − 5) −2h (x) = (3x − 5) −2 и применим правило мощности, чтобы получить
h ′ (x) = — 2 (3x − 5) −3 (3) = — 6 (3x − 5) −3.h ′ (x) = — 2 (3x − 5) −3 (3) = — 6 (3х − 5) −3.Подставляя, получаем h ′ (2) = — 6 (3 (2) −5) −3 = −6.h ′ (2) = — 6 (3 (2) −5) −3 = −6. Следовательно, прямая имеет уравнение y − 1 = −6 (x − 2) .y − 1 = −6 (x − 2). Переписывая, уравнение прямой имеет вид y = −6x + 13.y = −6x + 13.
КПП 3.35
Найдите уравнение касательной к графику функции f (x) = (x2−2) 3f (x) = (x2−2) 3 при x = −2.х = -2.
Объединение правила цепочки с другими правилами
Теперь, когда мы можем объединить цепное правило и правило мощности, мы исследуем, как объединить цепное правило с другими правилами, которые мы изучили. В частности, мы можем использовать его с формулами для производных тригонометрических функций или с правилом произведения.
Пример 3.51
Использование правила цепочки для функции общего косинуса
Найдите производную от h (x) = cos (g (x)). H (x) = cos (g (x)).
Решение
Думайте о h (x) = cos (g (x)) h (x) = cos (g (x)) как о f (g (x)) f (g (x)), где f (x) = cosx.f (x) = cosx. Поскольку f ′ (x) = — sinx.f ′ (x) = — sinx. имеем f ′ (g (x)) = — sin (g (x)). f ′ (g (x)) = — sin (g (x)). Затем делаем следующий расчет.
h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) Примените цепное правило. = — sin (g (x)) g ′ (x) Substitutef ′ (g (x)) = — sin ( g (x)). h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) Примените цепное правило. = — sin (g (x)) g ′ (x) Substitutef ′ (g (x )) = — sin (g (x)).Таким образом, производная h (x) = cos (g (x)) h (x) = cos (g (x)) задается выражением h ′ (x) = — sin (g (x)) g ′ ( х). h ′ (x) = — sin (g (x)) g ′ (x).
В следующем примере мы применяем только что выведенное правило.
Пример 3.52
Использование правила цепочки для функции косинуса
Найти производную h (x) = cos (5×2). H (x) = cos (5×2).
Решение
Пусть g (x) = 5×2.g (x) = 5×2. Тогда g ′ (x) = 10x.g ′ (x) = 10x. Используя результат из предыдущего примера,
h ′ (x) = — sin (5×2) · 10x = −10xsin (5×2) .h ′ (x) = — sin (5×2) · 10x = −10xsin (5×2).Пример 3.53
Использование правила цепочки для другой тригонометрической функции
Найдите производную h (x) = sec (4×5 + 2x).h (x) = сек (4×5 + 2x).
Решение
Примените цепное правило к h (x) = sec (g (x)) h (x) = sec (g (x)), чтобы получить
h ′ (x) = sec (g (x)) tan (g (x)) g ′ (x). h ′ (x) = sec (g (x)) tan (g (x)) g ′ (x ).В этой задаче g (x) = 4×5 + 2x, g (x) = 4×5 + 2x, поэтому мы имеем g ′ (x) = 20×4 + 2.g ′ (x) = 20×4 + 2. Следовательно, получаем
h ′ (x) = sec (4×5 + 2x) tan (4×5 + 2x) (20×4 + 2) = (20×4 + 2) sec (4×5 + 2x) tan (4×5 + 2x). h ′ (x) = sec ( 4×5 + 2x) загар (4×5 + 2x) (20×4 + 2) = (20×4 + 2) сек (4×5 + 2x) загар (4×5 + 2x).КПП 3.36
Найдите производную h (x) = sin (7x + 2).ч (х) = грех (7х + 2).
На этом этапе мы предоставляем список производных формул, которые могут быть получены путем применения цепного правила в сочетании с формулами для производных тригонометрических функций. Их выводы аналогичны тем, которые использовались в Примере 3.51 и Примере 3.53. Для удобства формулы также даны в обозначениях Лейбница, которые некоторым студентам легче запомнить. (Мы обсуждаем цепное правило, используя обозначения Лейбница в конце этого раздела.) Не обязательно запоминать их как отдельные формулы, поскольку все они являются приложениями цепного правила к ранее изученным формулам.
Теорема 3.10
Использование цепного правила с тригонометрическими функциями
Для всех значений xx, для которых определена производная,
ddx (sin (g (x))) = cos (g (x)) g ′ (x)) ddxsinu = cosududxddx (cos (g (x))) = — sin (g (x)) g ′ (x) ) ddxcosu = −sinududxddx (tan (g (x))) = sec2 (g (x)) g ′ (x)) ddxtanu = sec2ududxddx (cot (g (x))) = — csc2 (g (x)) g ′ (X)) ddxcotu = −csc2ududxddx (sec (g (x))) = sec (g (x) tan (g (x)) g ′ (x)) ddxsecu = secutanududxddx (csc (g (x))) = −csc (g (x)) кроватка (g (x)) g ′ (x)) ddxcscu = −cscucotududx.ddx (sin (g (x))) = cos (g (x)) g ′ (x) ) ddxsinu = cosududxddx (cos (g (x))) = — sin (g (x)) g ′ (x)) ddxcosu = −sinududxddx (tan (g (x))) = sec2 (g (x)) g ′ (X)) ddxtanu = sec2ududxddx (cot (g (x))) = — csc2 (g (x)) g ′ (x)) ddxcotu = −csc2ududxddx (sec (g (x))) = sec (g ( x) tan (g (x)) g ′ (x)) ddxsecu = secutanududxddx (csc (g (x))) = — csc (g (x)) cot (g (x)) g ′ (x)) ddxcscu = −cscucotududx.Пример 3.54
Объединение правила цепочки с правилом продукта
Найти производную h (x) = (2x + 1) 5 (3x − 2) 7. h (x) = (2x + 1) 5 (3x − 2) 7.
Решение
Сначала примените правило продукта, затем примените правило цепочки к каждому элементу продукта.
h ′ (x) = ddx ((2x + 1) 5) · (3x − 2) 7 + ddx ((3x − 2) 7) · (2x + 1) 5 Примените правило произведения. = 5 (2x + 1) 4 · 2 · (3x − 2) 7 + 7 (3x − 2) 6 · 3 · (2x + 1) 5 Примените цепное правило. = 10 (2x + 1) 4 (3x − 2) 7 + 21 (3x− 2) 6 (2x + 1) 5 Упростить. = (2x + 1) 4 (3x − 2) 6 (10 (3x − 2) +21 (2x + 1)) Вынести за скобки (2x + 1) 4 (3x − 2) ) 6.= (2x + 1) 4 (3x − 2) 6 (72x + 1) Simplify.h ′ (x) = ddx ((2x + 1) 5) · (3x − 2) 7 + ddx ((3x − 2) 7) · (2x + 1) 5 Примените правило произведения. = 5 (2x + 1) 4 · 2 · (3x − 2) 7 + 7 (3x − 2) 6 · 3 · (2x + 1) 5 Примените правило цепочки . = 10 (2x + 1) 4 (3x − 2) 7 + 21 (3x − 2) 6 (2x + 1) 5 Упростить. = (2x + 1) 4 (3x − 2) 6 (10 (3x − 2) +21 (2x + 1)) Выносим за скобки (2x + 1) 4 (3x − 2) 6. = (2x + 1) 4 (3x − 2) 6 (72x + 1) Упростим.КПП 3.37
Найти производную h (x) = x (2x + 3) 3. h (x) = x (2x + 3) 3.
Композиты из трех или более функций
Теперь мы можем комбинировать цепное правило с другими правилами для дифференцирования функций, но когда мы различаем композицию из трех или более функций, нам нужно применить цепное правило более одного раза.Если мы посмотрим на эту ситуацию в общих чертах, мы можем создать формулу, но нам не нужно ее запоминать, поскольку мы можем просто применить цепное правило несколько раз.
В общем, сначала сдаем
k (x) = h (f (g (x))). k (x) = h (f (g (x))).Затем, применяя цепное правило, мы получаем
k ′ (x) = ddx (h (f (g (x))) = h ′ (f (g (x))) · ddxf ((g (x))). k ′ (x) = ddx (h (е (g (x))) = h ′ (f (g (x))) · ddxf ((g (x))).Применяя снова цепное правило, получаем
k ′ (x) = h ′ (f (g (x)) f ′ (g (x)) g ′ (x)). k ′ (x) = h ′ (f (g (x)) f ′ ( g (x)) g ′ (x)).Правило: цепное правило для композиции из трех функций
Для всех значений x , для которых функция дифференцируема, если
k (x) = h (f (g (x))), k (x) = h (f (g (x))),, затем
k ′ (x) = h ′ (f (g (x))) f ′ (g (x)) g ′ (x). k ′ (x) = h ′ (f (g (x))) f ′ (g (x)) g ′ (x).Другими словами, мы применяем цепное правило дважды.
Обратите внимание, что производная от композиции трех функций состоит из трех частей. (Точно так же производная композиции четырех функций состоит из четырех частей и так далее.Кроме того, помните, мы всегда можем работать извне внутрь, беря по одной производной за раз.
Пример 3.55
Дифференциация трех функций
Найти производную k (x) = cos4 (7×2 + 1) .k (x) = cos4 (7×2 + 1).
Решение
Сначала перепишем k (x) k (x) как
k (x) = (cos (7×2 + 1)) 4. k (x) = (cos (7×2 + 1)) 4.Затем несколько раз примените цепное правило.
k ′ (x) = 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (ddxcos (7×2 + 1)) Примените цепное правило.= 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (−sin (7×2 + 1)) (ddx (7×2 + 1)) Примените цепное правило. = 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (−sin (7×2 + 1)) (14x) Примените правило цепочки. = — 56xsin (7×2 + 1) cos3 (7×2 + 1) Simplify.k ′ (x) = 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (ddxcos (7×2 + 1) ) Примените цепное правило. = 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (−sin (7×2 + 1)) (ddx (7×2 + 1)) Примените цепное правило. = 4 (cos (7×2 + 1)) 3 (−sin (7×2 + 1)) (14x) Примените правило цепочки. = — 56xsin (7×2 + 1) cos3 (7×2 + 1) Упростите.КПП 3.38
Найдите производную от h (x) = sin6 (x3). H (x) = sin6 (x3).
Пример 3.56
Использование цепного правила в задаче скорости
Частица движется по координатной оси.Его положение в момент времени t определяется как s (t) = sin (2t) + cos (3t) .s (t) = sin (2t) + cos (3t). Какова скорость частицы в момент времени t = π6? T = π6?
Решение
Чтобы найти v (t), v (t), скорость частицы в момент времени t, t, мы должны дифференцировать s (t) .s (t). Таким образом,
v (t) = s ′ (t) = 2cos (2t) −3sin (3t). v (t) = s ′ (t) = 2cos (2t) −3sin (3t).Подставляя t = π6t = π6 в v (t), v (t), получаем v (π6) = — 2.v (π6) = — 2.
КПП 3.39
Частица движется по координатной оси.Его положение в момент времени tt определяется выражением s (t) = sin (4t) .s (t) = sin (4t). Найдите его ускорение в момент времени t.t.
Доказательство
Здесь мы представляем очень неформальное доказательство цепного правила. Для простоты мы игнорируем некоторые вопросы: например, мы предполагаем, что g (x) ≠ g (a) g (x) ≠ g (a) для x ≠ ax ≠ a в некотором открытом интервале, содержащем a.a. Начнем с применения предельного определения производной к функции h (x) h (x), чтобы получить h ′ (a): h ′ (a):
h ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) x − ah ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) x− а.Переписывая, получаем
h ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) · g (x) −g (a) x − ah ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) · g (x) −g (a) x − a.Хотя понятно, что
limx → ag (x) −g (a) x − a = g ′ (a), limx → ag (x) −g (a) x − a = g ′ (a),не очевидно, что
limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) = f ′ (g (a)). limx → af (g (x)) — f (g ( а)) g (x) −g (a) = f ′ (g (a)).Чтобы убедиться в этом, сначала вспомним, что, поскольку g, дифференцируем в a, ga, g также непрерывен в a.a. Таким образом,
limx → ag (x) = g (a).limx → ag (x) = g (a).Затем сделайте замену y = g (x) y = g (x) и b = g (a) b = g (a) и используйте замену переменных в пределе, чтобы получить
limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) = limy → bf (y) −f (b) y − b = f ′ (b) = f ′ (g (a)). limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) = limy → bf (y) −f (b) y − b = f ′ (B) = f ′ (g (a)).Наконец,
h ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) · g (x) −g (a) x − a = f ′ (g (a)) g ′ (a) .h ′ (a) = limx → af (g (x)) — f (g (a)) g (x) −g (a) · g (x) −g ( а) x − a = f ′ (g (a)) g ′ (a).□
Пример 3.57
Использование правила цепочки с функциональными значениями
Пусть h (x) = f (g (x)).h (x) = f (g (x)). Если g (1) = 4, g ′ (1) = 3, g (1) = 4, g ′ (1) = 3 и f ′ (4) = 7, f ′ (4) = 7, найти h ′ (1) .h ′ (1).
Решение
Используйте цепное правило, затем замените.
h ′ (1) = f ′ (g (1)) g ′ (1) Примените цепное правило. = f ′ (4) · 3Substituteg (1) = 4andg ′ (1) = 3. = 7 · 3Substitutef ′ ( 4) = 7. = 21Simplify.h ′ (1) = f ′ (g (1)) g ′ (1) Примените цепное правило. = F ′ (4) · 3Substituteg (1) = 4andg ′ (1) = 3. = 7 · 3Substitutef ′ (4) = 7. = 21Simplify.КПП 3,40
Дано h (x) = f (g (x)). H (x) = f (g (x)). Если g (2) = — 3, g ′ (2) = 4, g (2) = — 3, g ′ (2) = 4 и f ′ (- 3) = 7, f ′ (- 3) = 7 найти h ′ (2).h ′ (2).
Цепное правило с использованием нотации Лейбница
Как и в случае с другими производными, которые мы видели, мы можем выразить цепное правило, используя обозначения Лейбница. Это обозначение цепного правила широко используется в физических приложениях.
Для h (x) = f (g (x)), Forh (x) = f (g (x)), пусть u = g (x) u = g (x) и y = h (x) = f ( u) .y = h (x) = f (u). Таким образом,
h ′ (x) = dydx, f ′ (g (x)) = f ′ (u) = dyduandg ′ (x) = dudx.h ′ (x) = dydx, f ′ (g (x)) = f ′ (u) = dydu и g ′ (x) = dudx.Следовательно,
dydx = h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) = dydu · dudx.dydx = h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) = dydu · dudx.Правило: цепное правило с использованием нотации Лейбница
Если yy является функцией u, u, а uu является функцией x, x, то
dydx = dydu · dudx.dydx = dydu · dudx.Пример 3.58
Получение производной с использованием обозначений Лейбница, пример 1
Найдите производную y = (x3x + 2) 5.y = (x3x + 2) 5.
Решение
Во-первых, пусть u = x3x + 2.u = x3x + 2. Таким образом, y = u5.y = u5. Далее найдите dudxdudx и dydu.dydu. Используя правило частного,
dudx = 2 (3x + 2) 2dudx = 2 (3x + 2) 2и
Наконец, мы собрали все воедино.
dydx = dydu · dudx Примените цепное правило. = 5u4 · 2 (3x + 2) 2Substhibitedydu = 5u4anddudx = 2 (3x + 2) 2. = 5 (x3x + 2) 4 · 2 (3x + 2) 2Substituteu = x3x + 2 . = 10×4 (3x + 2) 6Simplify.dydx = dydu · dudx Примените цепное правило. = 5u4 · 2 (3x + 2) 2Substhibitedydu = 5u4anddudx = 2 (3x + 2) 2. = 5 (x3x + 2) 4 · 2 (3x + 2) 2Substituteu = x3x + 2. = 10×4 (3x + 2) 6 Упростить.Важно помнить, что при использовании формы цепного правила Лейбница окончательный ответ должен быть полностью выражен в терминах исходной переменной, данной в задаче.
Пример 3.59
Получение производной с использованием обозначений Лейбница, пример 2
Найдите производную y = tan (4×2−3x + 1) .y = tan (4×2−3x + 1).
Решение
Сначала пусть u = 4×2−3x + 1.u = 4×2−3x + 1. Тогда y = tanu.y = tanu. Далее находим dudxdudx и dydu: dydu:
dudx = 8x − 3anddydu = sec2u.dudx = 8x − 3anddydu = sec2u.Наконец, мы собрали все воедино.
dydx = dydu · dudx Примените правило цепочки. = sec2u · (8x − 3) Usedudx = 8x − 3anddydu = sec2u. = sec2 (4×2−3x + 1) · (8x − 3) Substituteu = 4×2−3x + 1.dydx = dydu · dudx Примените правило цепочки. = sec2u · (8x − 3) Usedudx = 8x − 3anddydu = sec2u. = sec2 (4×2−3x + 1) · (8x − 3) Substituteu = 4×2−3x + 1.КПП 3.41
Используйте обозначения Лейбница, чтобы найти производную y = cos (x3) .y = cos (x3). Убедитесь, что окончательный ответ полностью выражен в терминах переменной x.x.
Раздел 3.6. Упражнения
Для следующих упражнений, учитывая y = f (u) y = f (u) и u = g (x), u = g (x), найдите dydxdydx, используя обозначение Лейбница для цепного правила: dydx = dydududx.dydx = dydududx.
214.y = 3u − 6, u = 2x2y = 3u − 6, u = 2×2
215.y = 6u3, u = 7x − 4y = 6u3, u = 7x − 4
216.y = sinu, u = 5x − 1y = sinu, u = 5x − 1
217.y = cosu, u = −x8y = cosu, u = −x8
218.y = тану, u = 9x + 2y = tanu, u = 9x + 2
219.y = 4u + 3, u = x2−6xy = 4u + 3, u = x2−6x
Для каждого из следующих упражнений
- разложите каждую функцию в виде y = f (u) y = f (u) и u = g (x), u = g (x) и
- найти dydxdydx как функцию от x.x.
y = −6 (sin) −3xy = −6 (sin) −3x
Для следующих упражнений найдите dydxdydx для каждой функции.
228.у = (3×2 + 3x − 1) 4y = (3×2 + 3x − 1) 4
229.y = (5−2x) −2y = (5−2x) −2
231.у = (2×3 − x2 + 6x + 1) 3y = (2×3 − x2 + 6x + 1) 3
233.y = (tanx + sinx) −3y = (tanx + sinx) −3
238.Пусть y = [f (x)] 2y = [f (x)] 2 и предположим, что f ′ (1) = 4f ′ (1) = 4 и dydx = 10dydx = 10 для x = 1.x = 1. Найдите f (1) .f (1).
239.Пусть y = (f (x) + 5×2) 4y = (f (x) + 5×2) 4 и предположим, что f (−1) = — 4f (−1) = — 4 и dydx = 3dydx = 3, когда x = −1.х = -1. Найдите f ′ (- 1) f ′ (- 1)
240.Пусть y = (f (u) + 3x) 2y = (f (u) + 3x) 2 и u = x3−2x.u = x3−2x. Если f (4) = 6f (4) = 6 и dydx = 18dydx = 18, когда x = 2, x = 2, найти f ′ (4) .f ′ (4).
241.[T] Найдите уравнение касательной к y = −sin (x2) y = −sin (x2) в нуле. Используйте калькулятор, чтобы построить график функции и касательной линии.
242.[T] Найдите уравнение касательной к y = (3x + 1x) 2y = (3x + 1x) 2 в точке (1,16). (1,16). Используйте калькулятор, чтобы построить график функции и касательной линии.
243.Найдите координаты xx, при которых касательная к y = (x − 6x) 8y = (x − 6x) 8 горизонтальна.
244.[T] Найдите уравнение прямой, нормальной к g (θ) = sin2 (πθ) g (θ) = sin2 (πθ) в точке (14,12). (14,12). Используйте калькулятор, чтобы построить график функции и нормальной линии вместе.
Для следующих упражнений используйте информацию из следующей таблицы, чтобы найти h ′ (a) h ′ (a) при заданном значении для a.a.
245.х х е (х) е (х) ф ‘(х) ф’ (х) г (x) г (x) г ′ (х) г ′ (х) 0 2 5 0 2 1 1 −2 3 0 2 4 4 1 -1 3 3 −3 2 3 h (x) = f (g (x)); a = 0 h (x) = f (g (x)); a = 0
246.h (x) = g (f (x)); a = 0 h (x) = g (f (x)); a = 0
247.h (x) = (x4 + g (x)) — 2; a = 1h (x) = (x4 + g (x)) — 2; a = 1
248.h (x) = (f (x) g (x)) 2; a = 3h (x) = (f (x) g (x)) 2; a = 3
249.h (x) = f (x + f (x)); a = 1h (x) = f (x + f (x)); a = 1
250.h (x) = (1 + g (x)) 3; a = 2h (x) = (1 + g (x)) 3; a = 2
251.h (x) = g (2 + f (x2)); a = 1h (x) = g (2 + f (x2)); a = 1
252.h (x) = f (g (sinx)); a = 0h (x) = f (g (sinx)); a = 0
253.[T] Функция положения грузового поезда определяется выражением s (t) = 100 (t + 1) −2, s (t) = 100 (t + 1) −2, с ss в метрах и tt. в секундах.В момент времени t = 6t = 6 с найти
поезда.- скорость и
- разгон.
- Использование файла. и б. поезд ускоряется или замедляется?
[T] Масса, подвешенная на вертикальной пружине, находится в простом гармоническом движении, как это задается следующей функцией положения, где tt измеряется в секундах, а ss — в дюймах:
s (t) = — 3cos (πt + π4) .s (t) = — 3cos (πt + π4).
- Определите положение пружины при t = 1,5t = 1.5 с.
- Найдите скорость пружины при t = 1,5t = 1,5 с.
[T] Общая стоимость производства xx коробок печенья Thin Mint Girl Scout составляет CC долларов, где C = 0,0001×3−0,02×2 + 3x + 300.C = 0,0001×3−0,02×2 + 3x + 300. В tt недель производство оценивается в x = 1600 + 100tx = 1600 + 100t коробок.
- Найдите предельные затраты C ′ (x) .C ′ (x).
- Используйте обозначение Лейбница для правила цепочки, dCdt = dCdx · dxdt, dCdt = dCdx · dxdt, чтобы найти скорость изменения стоимости относительно времени tt.
- Использование b. чтобы определить, насколько быстро растут затраты при t = 2t = 2 недели. Включите единицы с ответом.
[T] Формула площади круга: A = πr2, A = πr2, где rr — радиус круга. Предположим, круг расширяется, а это означает, что расширяются как площадь AA, так и радиус rr (в дюймах).
- Предположим, что r = 2−100 (t + 7) 2r = 2−100 (t + 7) 2, где tt — время в секундах. Используйте правило цепочки dAdt = dAdr · drdtdAdt = dAdr · drdt, чтобы определить скорость расширения области.
- Используйте. чтобы найти скорость расширения области при t = 4t = 4 с.
[T] Формула объема сферы S = 43πr3, S = 43πr3, где rr (в футах) — радиус сферы. Предположим, сферический снежный ком тает на солнце.
- Предположим, что r = 1 (t + 1) 2−112r = 1 (t + 1) 2−112, где tt — время в минутах. Используйте правило цепочки dSdt = dSdr · drdtdSdt = dSdr · drdt, чтобы найти скорость, с которой тает снежный ком.
- Используйте. чтобы найти скорость изменения объема при t = 1t = 1 мин.
[T] Суточную температуру в градусах Фаренгейта в Фениксе летом можно смоделировать с помощью функции T (x) = 94−10cos [π12 (x − 2)], T (x) = 94−10cos [π12 (x − 2)], где xx — часы после полуночи.